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Theorem initoeu2lem0 16663
Description: Lemma 0 for initoeu2 16666. (Contributed by AV, 9-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
initoeu1.c |- ( ph -> C e. Cat )
initoeu1.a |- ( ph -> A e. (InitO ` C ) )
initoeu2lem.x |- X = ( Base ` C )
initoeu2lem.h |- H = ( Hom ` C )
initoeu2lem.i |- I = ( Iso ` C )
initoeu2lem.o |- .o. = (comp ` C )
Assertion
Ref Expression
initoeu2lem0 |- ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ G e. ( B H D ) ) /\ ( ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) ( <. A , B >. .o. D ) ( ( B (Inv ` C ) A ) ` K ) ) = ( G ( <. A , B >. .o. D ) ( ( B (Inv ` C ) A ) ` K ) ) ) -> G = ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) )
Proof of Theorem initoeu2lem0
StepHypRef Expression
1 3simpa 1058 . 2 |- ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ G e. ( B H D ) ) /\ ( ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) ( <. A , B >. .o. D ) ( ( B (Inv ` C ) A ) ` K ) ) = ( G ( <. A , B >. .o. D ) ( ( B (Inv ` C ) A ) ` K ) ) ) -> ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ G e. ( B H D ) ) ) )
2 simp3 1063 . . 3 |- ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ G e. ( B H D ) ) /\ ( ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) ( <. A , B >. .o. D ) ( ( B (Inv ` C ) A ) ` K ) ) = ( G ( <. A , B >. .o. D ) ( ( B (Inv ` C ) A ) ` K ) ) ) -> ( ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) ( <. A , B >. .o. D ) ( ( B (Inv ` C ) A ) ` K ) ) = ( G ( <. A , B >. .o. D ) ( ( B (Inv ` C ) A ) ` K ) ) )
32eqcomd 2628 . 2 |- ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ G e. ( B H D ) ) /\ ( ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) ( <. A , B >. .o. D ) ( ( B (Inv ` C ) A ) ` K ) ) = ( G ( <. A , B >. .o. D ) ( ( B (Inv ` C ) A ) ` K ) ) ) -> ( G ( <. A , B >. .o. D ) ( ( B (Inv ` C ) A ) ` K ) ) = ( ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) ( <. A , B >. .o. D ) ( ( B (Inv ` C ) A ) ` K ) ) )
4 initoeu2lem.x . . 3 |- X = ( Base ` C )
5 eqid 2622 . . 3 |- (Inv ` C ) = (Inv ` C )
6 initoeu1.c . . . . 5 |- ( ph -> C e. Cat )
76adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) ) -> C e. Cat )
87adantr 481 . . 3 |- ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ G e. ( B H D ) ) ) -> C e. Cat )
9 simpr1 1067 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) ) -> A e. X )
109adantr 481 . . 3 |- ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ G e. ( B H D ) ) ) -> A e. X )
11 simpr2 1068 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) ) -> B e. X )
1211adantr 481 . . 3 |- ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ G e. ( B H D ) ) ) -> B e. X )
13 simplr3 1105 . . 3 |- ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ G e. ( B H D ) ) ) -> D e. X )
14 initoeu2lem.i . . . . . . . 8 |- I = ( Iso ` C )
1514oveqi 6663 . . . . . . 7 |- ( B I A ) = ( B ( Iso ` C ) A )
1615eleq2i 2693 . . . . . 6 |- ( K e. ( B I A ) <-> K e. ( B ( Iso ` C ) A ) )
1716biimpi 206 . . . . 5 |- ( K e. ( B I A ) -> K e. ( B ( Iso ` C ) A ) )
18173ad2ant1 1082 . . . 4 |- ( ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ G e. ( B H D ) ) -> K e. ( B ( Iso ` C ) A ) )
1918adantl 482 . . 3 |- ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ G e. ( B H D ) ) ) -> K e. ( B ( Iso ` C ) A ) )
20 initoeu2lem.h . . . . . . . 8 |- H = ( Hom ` C )
2120oveqi 6663 . . . . . . 7 |- ( B H D ) = ( B ( Hom ` C ) D )
2221eleq2i 2693 . . . . . 6 |- ( G e. ( B H D ) <-> G e. ( B ( Hom ` C ) D ) )
2322biimpi 206 . . . . 5 |- ( G e. ( B H D ) -> G e. ( B ( Hom ` C ) D ) )
24233ad2ant3 1084 . . . 4 |- ( ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ G e. ( B H D ) ) -> G e. ( B ( Hom ` C ) D ) )
2524adantl 482 . . 3 |- ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ G e. ( B H D ) ) ) -> G e. ( B ( Hom ` C ) D ) )
26 eqid 2622 . . . 4 |- ( Hom ` C ) = ( Hom ` C )
27 initoeu2lem.o . . . 4 |- .o. = (comp ` C )
284, 26, 14, 7, 11, 9isohom 16436 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) ) -> ( B I A ) C_ ( B ( Hom ` C ) A ) )
2928sseld 3602 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) ) -> ( K e. ( B I A ) -> K e. ( B ( Hom ` C ) A ) ) )
3029com12 32 . . . . . 6 |- ( K e. ( B I A ) -> ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) ) -> K e. ( B ( Hom ` C ) A ) ) )
31303ad2ant1 1082 . . . . 5 |- ( ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ G e. ( B H D ) ) -> ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) ) -> K e. ( B ( Hom ` C ) A ) ) )
3231impcom 446 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ G e. ( B H D ) ) ) -> K e. ( B ( Hom ` C ) A ) )
3320oveqi 6663 . . . . . . . 8 |- ( A H D ) = ( A ( Hom ` C ) D )
3433eleq2i 2693 . . . . . . 7 |- ( F e. ( A H D ) <-> F e. ( A ( Hom ` C ) D ) )
3534biimpi 206 . . . . . 6 |- ( F e. ( A H D ) -> F e. ( A ( Hom ` C ) D ) )
36353ad2ant2 1083 . . . . 5 |- ( ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ G e. ( B H D ) ) -> F e. ( A ( Hom ` C ) D ) )
3736adantl 482 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ G e. ( B H D ) ) ) -> F e. ( A ( Hom ` C ) D ) )
384, 26, 27, 8, 12, 10, 13, 32, 37catcocl 16346 . . 3 |- ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ G e. ( B H D ) ) ) -> ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) e. ( B ( Hom ` C ) D ) )
39 eqid 2622 . . 3 |- ( ( B (Inv ` C ) A ) ` K ) = ( ( B (Inv ` C ) A ) ` K )
4027oveqi 6663 . . 3 |- ( <. A , B >. .o. D ) = ( <. A , B >. (comp ` C ) D )
414, 5, 8, 10, 12, 13, 19, 25, 38, 39, 40rcaninv 16454 . 2 |- ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ G e. ( B H D ) ) ) -> ( ( G ( <. A , B >. .o. D ) ( ( B (Inv ` C ) A ) ` K ) ) = ( ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) ( <. A , B >. .o. D ) ( ( B (Inv ` C ) A ) ` K ) ) -> G = ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) ) )
421, 3, 41sylc 65 1 |- ( ( ( ph /\ ( A e. X /\ B e. X /\ D e. X ) ) /\ ( K e. ( B I A ) /\ F e. ( A H D ) /\ G e. ( B H D ) ) /\ ( ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) ( <. A , B >. .o. D ) ( ( B (Inv ` C ) A ) ` K ) ) = ( G ( <. A , B >. .o. D ) ( ( B (Inv ` C ) A ) ` K ) ) ) -> G = ( F ( <. B , A >. .o. D ) K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   <.cop 4183   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   Hom chom 15952  compcco 15953   Catccat 16325  Invcinv 16405   Iso ciso 16406  InitOcinito 16638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-cat 16329  df-cid 16330  df-sect 16407  df-inv 16408  df-iso 16409
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