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Theorem vonvolmbl 40875
Description: A subset of Real numbers is Lebesgue measurable if and only if its corresponding 1-dimensional set is measurable w.r.t. the 1-dimensional Lebesgue measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonvolmbl.a |- ( ph -> A e. V )
vonvolmbl.b |- ( ph -> B C_ RR )
Assertion
Ref Expression
vonvolmbl |- ( ph -> ( ( B ^m { A } ) e. dom (voln ` { A } ) <-> B e. dom vol ) )
Proof of Theorem vonvolmbl
Dummy variables x f y g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3203 . . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
21a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> y e. _V )
3 reex 10027 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR e. _V
43a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> RR e. _V )
5 vonvolmbl.b . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B C_ RR )
64, 5ssexd 4805 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. _V )
7 snfi 8038 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- { A } e. Fin
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> { A } e. Fin )
98elexd 3214 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> { A } e. _V )
102, 6, 9inmap 39401 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( y ^m { A } ) i^i ( B ^m { A } ) ) = ( ( y i^i B ) ^m { A } ) )
1110eqcomd 2628 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( y i^i B ) ^m { A } ) = ( ( y ^m { A } ) i^i ( B ^m { A } ) ) )
1211fveq2d 6195 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( (voln* ` { A } ) ` ( ( y i^i B ) ^m { A } ) ) = ( (voln* ` { A } ) ` ( ( y ^m { A } ) i^i ( B ^m { A } ) ) ) )
13 vonvolmbl.a . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. V )
142, 6, 13difmapsn 39404 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( y ^m { A } ) \ ( B ^m { A } ) ) = ( ( y \ B ) ^m { A } ) )
1514eqcomd 2628 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( y \ B ) ^m { A } ) = ( ( y ^m { A } ) \ ( B ^m { A } ) ) )
1615fveq2d 6195 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( (voln* ` { A } ) ` ( ( y \ B ) ^m { A } ) ) = ( (voln* ` { A } ) ` ( ( y ^m { A } ) \ ( B ^m { A } ) ) ) )
1712, 16oveq12d 6668 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( (voln* ` { A } ) ` ( ( y i^i B ) ^m { A } ) ) +e ( (voln* ` { A } ) ` ( ( y \ B ) ^m { A } ) ) ) = ( ( (voln* ` { A } ) ` ( ( y ^m { A } ) i^i ( B ^m { A } ) ) ) +e ( (voln* ` { A } ) ` ( ( y ^m { A } ) \ ( B ^m { A } ) ) ) ) )
1817ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. x e. ~P ( RR ^m { A } ) ( ( (voln* ` { A } ) ` ( x i^i ( B ^m { A } ) ) ) +e ( (voln* ` { A } ) ` ( x \ ( B ^m { A } ) ) ) ) = ( (voln* ` { A } ) ` x ) ) /\ y e. ~P RR ) -> ( ( (voln* ` { A } ) ` ( ( y i^i B ) ^m { A } ) ) +e ( (voln* ` { A } ) ` ( ( y \ B ) ^m { A } ) ) ) = ( ( (voln* ` { A } ) ` ( ( y ^m { A } ) i^i ( B ^m { A } ) ) ) +e ( (voln* ` { A } ) ` ( ( y ^m { A } ) \ ( B ^m { A } ) ) ) ) )
19 ovexd 6680 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ~P RR -> ( y ^m { A } ) e. _V )
203a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ~P RR -> RR e. _V )
21 elpwi 4168 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ~P RR -> y C_ RR )
22 mapss 7900 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( RR e. _V /\ y C_ RR ) -> ( y ^m { A } ) C_ ( RR ^m { A } ) )
2320, 21, 22syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ~P RR -> ( y ^m { A } ) C_ ( RR ^m { A } ) )
2419, 23elpwd 4167 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~P RR -> ( y ^m { A } ) e. ~P ( RR ^m { A } ) )
2524adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. ~P ( RR ^m { A } ) ( ( (voln* ` { A } ) ` ( x i^i ( B ^m { A } ) ) ) +e ( (voln* ` { A } ) ` ( x \ ( B ^m { A } ) ) ) ) = ( (voln* ` { A } ) ` x ) /\ y e. ~P RR ) -> ( y ^m { A } ) e. ~P ( RR ^m { A } ) )
26 simpl 473 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. ~P ( RR ^m { A } ) ( ( (voln* ` { A } ) ` ( x i^i ( B ^m { A } ) ) ) +e ( (voln* ` { A } ) ` ( x \ ( B ^m { A } ) ) ) ) = ( (voln* ` { A } ) ` x ) /\ y e. ~P RR ) -> A. x e. ~P ( RR ^m { A } ) ( ( (voln* ` { A } ) ` ( x i^i ( B ^m { A } ) ) ) +e ( (voln* ` { A } ) ` ( x \ ( B ^m { A } ) ) ) ) = ( (voln* ` { A } ) ` x ) )
27 ineq1 3807 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( y ^m { A } ) -> ( x i^i ( B ^m { A } ) ) = ( ( y ^m { A } ) i^i ( B ^m { A } ) ) )
2827fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( y ^m { A } ) -> ( (voln* ` { A } ) ` ( x i^i ( B ^m { A } ) ) ) = ( (voln* ` { A } ) ` ( ( y ^m { A } ) i^i ( B ^m { A } ) ) ) )
29 difeq1 3721 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( y ^m { A } ) -> ( x \ ( B ^m { A } ) ) = ( ( y ^m { A } ) \ ( B ^m { A } ) ) )
3029fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( y ^m { A } ) -> ( (voln* ` { A } ) ` ( x \ ( B ^m { A } ) ) ) = ( (voln* ` { A } ) ` ( ( y ^m { A } ) \ ( B ^m { A } ) ) ) )
3128, 30oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( y ^m { A } ) -> ( ( (voln* ` { A } ) ` ( x i^i ( B ^m { A } ) ) ) +e ( (voln* ` { A } ) ` ( x \ ( B ^m { A } ) ) ) ) = ( ( (voln* ` { A } ) ` ( ( y ^m { A } ) i^i ( B ^m { A } ) ) ) +e ( (voln* ` { A } ) ` ( ( y ^m { A } ) \ ( B ^m { A } ) ) ) ) )
32 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( y ^m { A } ) -> ( (voln* ` { A } ) ` x ) = ( (voln* ` { A } ) ` ( y ^m { A } ) ) )
3331, 32eqeq12d 2637 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( y ^m { A } ) -> ( ( ( (voln* ` { A } ) ` ( x i^i ( B ^m { A } ) ) ) +e ( (voln* ` { A } ) ` ( x \ ( B ^m { A } ) ) ) ) = ( (voln* ` { A } ) ` x ) <-> ( ( (voln* ` { A } ) ` ( ( y ^m { A } ) i^i ( B ^m { A } ) ) ) +e ( (voln* ` { A } ) ` ( ( y ^m { A } ) \ ( B ^m { A } ) ) ) ) = ( (voln* ` { A } ) ` ( y ^m { A } ) ) ) )
3433rspcva 3307 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y ^m { A } ) e. ~P ( RR ^m { A } ) /\ A. x e. ~P ( RR ^m { A } ) ( ( (voln* ` { A } ) ` ( x i^i ( B ^m { A } ) ) ) +e ( (voln* ` { A } ) ` ( x \ ( B ^m { A } ) ) ) ) = ( (voln* ` { A } ) ` x ) ) -> ( ( (voln* ` { A } ) ` ( ( y ^m { A } ) i^i ( B ^m { A } ) ) ) +e ( (voln* ` { A } ) ` ( ( y ^m { A } ) \ ( B ^m { A } ) ) ) ) = ( (voln* ` { A } ) ` ( y ^m { A } ) ) )
3525, 26, 34syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. ~P ( RR ^m { A } ) ( ( (voln* ` { A } ) ` ( x i^i ( B ^m { A } ) ) ) +e ( (voln* ` { A } ) ` ( x \ ( B ^m { A } ) ) ) ) = ( (voln* ` { A } ) ` x ) /\ y e. ~P RR ) -> ( ( (voln* ` { A } ) ` ( ( y ^m { A } ) i^i ( B ^m { A } ) ) ) +e ( (voln* ` { A } ) ` ( ( y ^m { A } ) \ ( B ^m { A } ) ) ) ) = ( (voln* ` { A } ) ` ( y ^m { A } ) ) )
3635adantll 750 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. x e. ~P ( RR ^m { A } ) ( ( (voln* ` { A } ) ` ( x i^i ( B ^m { A } ) ) ) +e ( (voln* ` { A } ) ` ( x \ ( B ^m { A } ) ) ) ) = ( (voln* ` { A } ) ` x ) ) /\ y e. ~P RR ) -> ( ( (voln* ` { A } ) ` ( ( y ^m { A } ) i^i ( B ^m { A } ) ) ) +e ( (voln* ` { A } ) ` ( ( y ^m { A } ) \ ( B ^m { A } ) ) ) ) = ( (voln* ` { A } ) ` ( y ^m { A } ) ) )
37 eqidd 2623 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. x e. ~P ( RR ^m { A } ) ( ( (voln* ` { A } ) ` ( x i^i ( B ^m { A } ) ) ) +e ( (voln* ` { A } ) ` ( x \ ( B ^m { A } ) ) ) ) = ( (voln* ` { A } ) ` x ) ) /\ y e. ~P RR ) -> ( (voln* ` { A } ) ` ( y ^m { A } ) ) = ( (voln* ` { A } ) ` ( y ^m { A } ) ) )
3818, 36, 373eqtrd 2660 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. x e. ~P ( RR ^m { A } ) ( ( (voln* ` { A } ) ` ( x i^i ( B ^m { A } ) ) ) +e ( (voln* ` { A } ) ` ( x \ ( B ^m { A } ) ) ) ) = ( (voln* ` { A } ) ` x ) ) /\ y e. ~P RR ) -> ( ( (voln* ` { A } ) ` ( ( y i^i B ) ^m { A } ) ) +e ( (voln* ` { A } ) ` ( ( y \ B ) ^m { A } ) ) ) = ( (voln* ` { A } ) ` ( y ^m { A } ) ) )
3938eqcomd 2628 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. x e. ~P ( RR ^m { A } ) ( ( (voln* ` { A } ) ` ( x i^i ( B ^m { A } ) ) ) +e ( (voln* ` { A } ) ` ( x \ ( B ^m { A } ) ) ) ) = ( (voln* ` { A } ) ` x ) ) /\ y e. ~P RR ) -> ( (voln* ` { A } ) ` ( y ^m { A } ) ) = ( ( (voln* ` { A } ) ` ( ( y i^i B ) ^m { A } ) ) +e ( (voln* ` { A } ) ` ( ( y \ B ) ^m { A } ) ) ) )
4013adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ~P RR ) -> A e. V )
4121adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ~P RR ) -> y C_ RR )
4240, 41ovnovol 40873 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ~P RR ) -> ( (voln* ` { A } ) ` ( y ^m { A } ) ) = ( vol* ` y ) )
4342adantlr 751 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. x e. ~P ( RR ^m { A } ) ( ( (voln* ` { A } ) ` ( x i^i ( B ^m { A } ) ) ) +e ( (voln* ` { A } ) ` ( x \ ( B ^m { A } ) ) ) ) = ( (voln* ` { A } ) ` x ) ) /\ y e. ~P RR ) -> ( (voln* ` { A } ) ` ( y ^m { A } ) ) = ( vol* ` y ) )
4441ssinss1d 39214 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ~P RR ) -> ( y i^i B ) C_ RR )
4540, 44ovnovol 40873 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ~P RR ) -> ( (voln* ` { A } ) ` ( ( y i^i B ) ^m { A } ) ) = ( vol* ` ( y i^i B ) ) )
4641ssdifssd 3748 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ~P RR ) -> ( y \ B ) C_ RR )
4740, 46ovnovol 40873 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ~P RR ) -> ( (voln* ` { A } ) ` ( ( y \ B ) ^m { A } ) ) = ( vol* ` ( y \ B ) ) )
4845, 47oveq12d 6668 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ~P RR ) -> ( ( (voln* ` { A } ) ` ( ( y i^i B ) ^m { A } ) ) +e ( (voln* ` { A } ) ` ( ( y \ B ) ^m { A } ) ) ) = ( ( vol* ` ( y i^i B ) ) +e ( vol* ` ( y \ B ) ) ) )
4948adantlr 751 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. x e. ~P ( RR ^m { A } ) ( ( (voln* ` { A } ) ` ( x i^i ( B ^m { A } ) ) ) +e ( (voln* ` { A } ) ` ( x \ ( B ^m { A } ) ) ) ) = ( (voln* ` { A } ) ` x ) ) /\ y e. ~P RR ) -> ( ( (voln* ` { A } ) ` ( ( y i^i B ) ^m { A } ) ) +e ( (voln* ` { A } ) ` ( ( y \ B ) ^m { A } ) ) ) = ( ( vol* ` ( y i^i B ) ) +e ( vol* ` ( y \ B ) ) ) )
5039, 43, 493eqtr3d 2664 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. x e. ~P ( RR ^m { A } ) ( ( (voln* ` { A } ) ` ( x i^i ( B ^m { A } ) ) ) +e ( (voln* ` { A } ) ` ( x \ ( B ^m { A } ) ) ) ) = ( (voln* ` { A } ) ` x ) ) /\ y e. ~P RR ) -> ( vol* ` y ) = ( ( vol* ` ( y i^i B ) ) +e ( vol* ` ( y \ B ) ) ) )
5150ralrimiva 2966 . . . 4 |- ( ( ph /\ A. x e. ~P ( RR ^m { A } ) ( ( (voln* ` { A } ) ` ( x i^i ( B ^m { A } ) ) ) +e ( (voln* ` { A } ) ` ( x \ ( B ^m { A } ) ) ) ) = ( (voln* ` { A } ) ` x ) ) -> A. y e. ~P RR ( vol* ` y ) = ( ( vol* ` ( y i^i B ) ) +e ( vol* ` ( y \ B ) ) ) )
5251ex 450 . . 3 |- ( ph -> ( A. x e. ~P ( RR ^m { A } ) ( ( (voln* ` { A } ) ` ( x i^i ( B ^m { A } ) ) ) +e ( (voln* ` { A } ) ` ( x \ ( B ^m { A } ) ) ) ) = ( (voln* ` { A } ) ` x ) -> A. y e. ~P RR ( vol* ` y ) = ( ( vol* ` ( y i^i B ) ) +e ( vol* ` ( y \ B ) ) ) ) )
5313ad2antrr 762 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. y e. ~P RR ( vol* ` y ) = ( ( vol* ` ( y i^i B ) ) +e ( vol* ` ( y \ B ) ) ) ) /\ x e. ~P ( RR ^m { A } ) ) -> A e. V )
545ad2antrr 762 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. y e. ~P RR ( vol* ` y ) = ( ( vol* ` ( y i^i B ) ) +e ( vol* ` ( y \ B ) ) ) ) /\ x e. ~P ( RR ^m { A } ) ) -> B C_ RR )
55 simplr 792 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. y e. ~P RR ( vol* ` y ) = ( ( vol* ` ( y i^i B ) ) +e ( vol* ` ( y \ B ) ) ) ) /\ x e. ~P ( RR ^m { A } ) ) -> A. y e. ~P RR ( vol* ` y ) = ( ( vol* ` ( y i^i B ) ) +e ( vol* ` ( y \ B ) ) ) )
56 elpwi 4168 . . . . . . 7 |- ( x e. ~P ( RR ^m { A } ) -> x C_ ( RR ^m { A } ) )
5756adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. y e. ~P RR ( vol* ` y ) = ( ( vol* ` ( y i^i B ) ) +e ( vol* ` ( y \ B ) ) ) ) /\ x e. ~P ( RR ^m { A } ) ) -> x C_ ( RR ^m { A } ) )
58 rneq 5351 . . . . . . 7 |- ( g = f -> ran g = ran f )
5958cbviunv 4559 . . . . . 6 |- U_ g e. x ran g = U_ f e. x ran f
6053, 54, 55, 57, 59vonvolmbllem 40874 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. y e. ~P RR ( vol* ` y ) = ( ( vol* ` ( y i^i B ) ) +e ( vol* ` ( y \ B ) ) ) ) /\ x e. ~P ( RR ^m { A } ) ) -> ( ( (voln* ` { A } ) ` ( x i^i ( B ^m { A } ) ) ) +e ( (voln* ` { A } ) ` ( x \ ( B ^m { A } ) ) ) ) = ( (voln* ` { A } ) ` x ) )
6160ralrimiva 2966 . . . 4 |- ( ( ph /\ A. y e. ~P RR ( vol* ` y ) = ( ( vol* ` ( y i^i B ) ) +e ( vol* ` ( y \ B ) ) ) ) -> A. x e. ~P ( RR ^m { A } ) ( ( (voln* ` { A } ) ` ( x i^i ( B ^m { A } ) ) ) +e ( (voln* ` { A } ) ` ( x \ ( B ^m { A } ) ) ) ) = ( (voln* ` { A } ) ` x ) )
6261ex 450 . . 3 |- ( ph -> ( A. y e. ~P RR ( vol* ` y ) = ( ( vol* ` ( y i^i B ) ) +e ( vol* ` ( y \ B ) ) ) -> A. x e. ~P ( RR ^m { A } ) ( ( (voln* ` { A } ) ` ( x i^i ( B ^m { A } ) ) ) +e ( (voln* ` { A } ) ` ( x \ ( B ^m { A } ) ) ) ) = ( (voln* ` { A } ) ` x ) ) )
6352, 62impbid 202 . 2 |- ( ph -> ( A. x e. ~P ( RR ^m { A } ) ( ( (voln* ` { A } ) ` ( x i^i ( B ^m { A } ) ) ) +e ( (voln* ` { A } ) ` ( x \ ( B ^m { A } ) ) ) ) = ( (voln* ` { A } ) ` x ) <-> A. y e. ~P RR ( vol* ` y ) = ( ( vol* ` ( y i^i B ) ) +e ( vol* ` ( y \ B ) ) ) ) )
64 mapss 7900 . . . 4 |- ( ( RR e. _V /\ B C_ RR ) -> ( B ^m { A } ) C_ ( RR ^m { A } ) )
654, 5, 64syl2anc 693 . . 3 |- ( ph -> ( B ^m { A } ) C_ ( RR ^m { A } ) )
668isvonmbl 40852 . . 3 |- ( ph -> ( ( B ^m { A } ) e. dom (voln ` { A } ) <-> ( ( B ^m { A } ) C_ ( RR ^m { A } ) /\ A. x e. ~P ( RR ^m { A } ) ( ( (voln* ` { A } ) ` ( x i^i ( B ^m { A } ) ) ) +e ( (voln* ` { A } ) ` ( x \ ( B ^m { A } ) ) ) ) = ( (voln* ` { A } ) ` x ) ) ) )
6765, 66mpbirand 530 . 2 |- ( ph -> ( ( B ^m { A } ) e. dom (voln ` { A } ) <-> A. x e. ~P ( RR ^m { A } ) ( ( (voln* ` { A } ) ` ( x i^i ( B ^m { A } ) ) ) +e ( (voln* ` { A } ) ` ( x \ ( B ^m { A } ) ) ) ) = ( (voln* ` { A } ) ` x ) ) )
68 ismbl4 40210 . . . 4 |- ( B e. dom vol <-> ( B C_ RR /\ A. y e. ~P RR ( vol* ` y ) = ( ( vol* ` ( y i^i B ) ) +e ( vol* ` ( y \ B ) ) ) ) )
6968a1i 11 . . 3 |- ( ph -> ( B e. dom vol <-> ( B C_ RR /\ A. y e. ~P RR ( vol* ` y ) = ( ( vol* ` ( y i^i B ) ) +e ( vol* ` ( y \ B ) ) ) ) ) )
705, 69mpbirand 530 . 2 |- ( ph -> ( B e. dom vol <-> A. y e. ~P RR ( vol* ` y ) = ( ( vol* ` ( y i^i B ) ) +e ( vol* ` ( y \ B ) ) ) ) )
7163, 67, 703bitr4d 300 1 |- ( ph -> ( ( B ^m { A } ) e. dom (voln ` { A } ) <-> B e. dom vol ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U_ciun 4520   dom cdm 5114   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   RRcr 9935   +ecxad 11944   vol*covol 23231   volcvol 23232  voln*covoln 40750  volncvoln 40752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-sumge0 40580  df-ome 40704  df-caragen 40706  df-ovoln 40751  df-voln 40753
This theorem is referenced by:  vonvol  40876  vonvolmbl2  40877  vonvol2  40878
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