Theorem ioombl1lem1 23326

Description: Lemma for ioombl1 23330. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioombl1.b	|- B = ( A (,) +oo )
ioombl1.a	|- ( ph -> A e. RR )
ioombl1.e	|- ( ph -> E C_ RR )
ioombl1.v	|- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )
ioombl1.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
ioombl1.s	|- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
ioombl1.t	|- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
ioombl1.u	|- U = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. H ) )
ioombl1.f1	|- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
ioombl1.f2	|- ( ph -> E C_ U. ran ( (,) o. F ) )
ioombl1.f3	|- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` E ) + C ) )
ioombl1.p	|- P = ( 1st ` ( F ` n ) )
ioombl1.q	|- Q = ( 2nd ` ( F ` n ) )
ioombl1.g	|- G = ( n e. NN |-> <. if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) , Q >. )
ioombl1.h	|- H = ( n e. NN |-> <. P , if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) >. )

Assertion

Ref	Expression
ioombl1lem1	|- ( ph -> ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ H : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) )

Distinct variable groups:   B, n   C, n   n, E   n, F   n, G   n, H   ph, n   S, n

Allowed substitution hints:   A( n)   P( n)   Q( n)   T( n)   U( n)

Proof of Theorem ioombl1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioombl1.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR )
2	1	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A e. RR )
3		ioombl1.p	. . . . . . . 8 |- P = ( 1st ` ( F ` n ) )
4		ioombl1.f1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
5		ovolfcl 23235	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) )
6	4, 5	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) )
7	6	simp1d 1073	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR )
8	3, 7	syl5eqel 2705	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> P e. RR )
9	2, 8	ifcld 4131	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> if ( P <_ A , A , P ) e. RR )
10		ioombl1.q	. . . . . . 7 |- Q = ( 2nd ` ( F ` n ) )
11	6	simp2d 1074	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR )
12	10, 11	syl5eqel 2705	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> Q e. RR )
13		min2 12021	. . . . . 6 |- ( ( if ( P <_ A , A , P ) e. RR /\ Q e. RR ) -> if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) <_ Q )
14	9, 12, 13	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) <_ Q )
15		df-br 4654	. . . . 5 |- ( if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) <_ Q <-> <. if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) , Q >. e. <_ )
16	14, 15	sylib 208	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> <. if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) , Q >. e. <_ )
17	9, 12	ifcld 4131	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) e. RR )
18		opelxpi 5148	. . . . 5 |- ( ( if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) e. RR /\ Q e. RR ) -> <. if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) , Q >. e. ( RR X. RR ) )
19	17, 12, 18	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> <. if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) , Q >. e. ( RR X. RR ) )
20	16, 19	elind 3798	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> <. if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) , Q >. e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
21		ioombl1.g	. . 3 |- G = ( n e. NN |-> <. if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) , Q >. )
22	20, 21	fmptd 6385	. 2 |- ( ph -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
23		max1 12016	. . . . . . 7 |- ( ( P e. RR /\ A e. RR ) -> P <_ if ( P <_ A , A , P ) )
24	8, 2, 23	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> P <_ if ( P <_ A , A , P ) )
25	6	simp3d 1075	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) )
26	25, 3, 10	3brtr4g 4687	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> P <_ Q )
27		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( if ( P <_ A , A , P ) = if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) -> ( P <_ if ( P <_ A , A , P ) <-> P <_ if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) ) )
28		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( Q = if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) -> ( P <_ Q <-> P <_ if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) ) )
29	27, 28	ifboth 4124	. . . . . 6 |- ( ( P <_ if ( P <_ A , A , P ) /\ P <_ Q ) -> P <_ if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) )
30	24, 26, 29	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> P <_ if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) )
31		df-br 4654	. . . . 5 |- ( P <_ if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) <-> <. P , if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) >. e. <_ )
32	30, 31	sylib 208	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> <. P , if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) >. e. <_ )
33		opelxpi 5148	. . . . 5 |- ( ( P e. RR /\ if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) e. RR ) -> <. P , if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) >. e. ( RR X. RR ) )
34	8, 17, 33	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> <. P , if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) >. e. ( RR X. RR ) )
35	32, 34	elind 3798	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> <. P , if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) >. e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
36		ioombl1.h	. . 3 |- H = ( n e. NN |-> <. P , if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) >. )
37	35, 36	fmptd 6385	. 2 |- ( ph -> H : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
38	22, 37	jca 554	1 |- ( ph -> ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ H : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ifcif 4086   <.cop 4183   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ran crn 5115   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   supcsup 8346   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   seqcseq 12801   abscabs 13974   vol*covol 23231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080

This theorem is referenced by:  ioombl1lem3  23328  ioombl1lem4  23329