Theorem ioombl1lem3 23328

Description: Lemma for ioombl1 23330. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioombl1.b	|- B = ( A (,) +oo )
ioombl1.a	|- ( ph -> A e. RR )
ioombl1.e	|- ( ph -> E C_ RR )
ioombl1.v	|- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )
ioombl1.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
ioombl1.s	|- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
ioombl1.t	|- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
ioombl1.u	|- U = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. H ) )
ioombl1.f1	|- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
ioombl1.f2	|- ( ph -> E C_ U. ran ( (,) o. F ) )
ioombl1.f3	|- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` E ) + C ) )
ioombl1.p	|- P = ( 1st ` ( F ` n ) )
ioombl1.q	|- Q = ( 2nd ` ( F ` n ) )
ioombl1.g	|- G = ( n e. NN |-> <. if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) , Q >. )
ioombl1.h	|- H = ( n e. NN |-> <. P , if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) >. )

Assertion

Ref	Expression
ioombl1lem3	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) + ( ( ( abs o. - ) o. H ) ` n ) ) = ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` n ) )

Distinct variable groups:   B, n   C, n   n, E   n, F   n, G   n, H   ph, n   S, n

Allowed substitution hints:   A( n)   P( n)   Q( n)   T( n)   U( n)

Proof of Theorem ioombl1lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioombl1.q	. . . . 5 |- Q = ( 2nd ` ( F ` n ) )
2		ioombl1.f1	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
3		ovolfcl 23235	. . . . . . 7 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) )
4	2, 3	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) )
5	4	simp2d 1074	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR )
6	1, 5	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> Q e. RR )
7	6	recnd 10068	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> Q e. CC )
8		ioombl1.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
9	8	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A e. RR )
10		ioombl1.p	. . . . . . 7 |- P = ( 1st ` ( F ` n ) )
11	4	simp1d 1073	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR )
12	10, 11	syl5eqel 2705	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> P e. RR )
13	9, 12	ifcld 4131	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> if ( P <_ A , A , P ) e. RR )
14	13, 6	ifcld 4131	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) e. RR )
15	14	recnd 10068	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) e. CC )
16	12	recnd 10068	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> P e. CC )
17	7, 15, 16	npncand 10416	. 2 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( Q - if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) ) + ( if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) - P ) ) = ( Q - P ) )
18		ioombl1.b	. . . . . . 7 |- B = ( A (,) +oo )
19		ioombl1.e	. . . . . . 7 |- ( ph -> E C_ RR )
20		ioombl1.v	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )
21		ioombl1.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. RR+ )
22		ioombl1.s	. . . . . . 7 |- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
23		ioombl1.t	. . . . . . 7 |- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
24		ioombl1.u	. . . . . . 7 |- U = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. H ) )
25		ioombl1.f2	. . . . . . 7 |- ( ph -> E C_ U. ran ( (,) o. F ) )
26		ioombl1.f3	. . . . . . 7 |- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` E ) + C ) )
27		ioombl1.g	. . . . . . 7 |- G = ( n e. NN |-> <. if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) , Q >. )
28		ioombl1.h	. . . . . . 7 |- H = ( n e. NN |-> <. P , if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) >. )
29	18, 8, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 2, 25, 26, 10, 1, 27, 28	ioombl1lem1 23326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ H : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) )
30	29	simpld 475	. . . . 5 |- ( ph -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
31		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( ( abs o. - ) o. G ) = ( ( abs o. - ) o. G )
32	31	ovolfsval 23239	. . . . 5 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) = ( ( 2nd ` ( G ` n ) ) - ( 1st ` ( G ` n ) ) ) )
33	30, 32	sylan 488	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) = ( ( 2nd ` ( G ` n ) ) - ( 1st ` ( G ` n ) ) ) )
34		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
35		opex 4932	. . . . . . . 8 |- <. if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) , Q >. e. _V
36	27	fvmpt2 6291	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN /\ <. if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) , Q >. e. _V ) -> ( G ` n ) = <. if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) , Q >. )
37	34, 35, 36	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( G ` n ) = <. if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) , Q >. )
38	37	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` ( G ` n ) ) = ( 2nd ` <. if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) , Q >. ) )
39		op2ndg 7181	. . . . . . 7 |- ( ( if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) e. RR /\ Q e. RR ) -> ( 2nd ` <. if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) , Q >. ) = Q )
40	14, 6, 39	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` <. if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) , Q >. ) = Q )
41	38, 40	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` ( G ` n ) ) = Q )
42	37	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` n ) ) = ( 1st ` <. if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) , Q >. ) )
43		op1stg 7180	. . . . . . 7 |- ( ( if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) e. RR /\ Q e. RR ) -> ( 1st ` <. if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) , Q >. ) = if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) )
44	14, 6, 43	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` <. if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) , Q >. ) = if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) )
45	42, 44	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` n ) ) = if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) )
46	41, 45	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 2nd ` ( G ` n ) ) - ( 1st ` ( G ` n ) ) ) = ( Q - if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) ) )
47	33, 46	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) = ( Q - if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) ) )
48	29	simprd 479	. . . . 5 |- ( ph -> H : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
49		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( ( abs o. - ) o. H ) = ( ( abs o. - ) o. H )
50	49	ovolfsval 23239	. . . . 5 |- ( ( H : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. H ) ` n ) = ( ( 2nd ` ( H ` n ) ) - ( 1st ` ( H ` n ) ) ) )
51	48, 50	sylan 488	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. H ) ` n ) = ( ( 2nd ` ( H ` n ) ) - ( 1st ` ( H ` n ) ) ) )
52		opex 4932	. . . . . . . 8 |- <. P , if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) >. e. _V
53	28	fvmpt2 6291	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN /\ <. P , if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) >. e. _V ) -> ( H ` n ) = <. P , if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) >. )
54	34, 52, 53	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( H ` n ) = <. P , if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) >. )
55	54	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` ( H ` n ) ) = ( 2nd ` <. P , if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) >. ) )
56		op2ndg 7181	. . . . . . 7 |- ( ( P e. RR /\ if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) e. RR ) -> ( 2nd ` <. P , if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) >. ) = if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) )
57	12, 14, 56	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` <. P , if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) >. ) = if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) )
58	55, 57	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` ( H ` n ) ) = if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) )
59	54	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( H ` n ) ) = ( 1st ` <. P , if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) >. ) )
60		op1stg 7180	. . . . . . 7 |- ( ( P e. RR /\ if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) e. RR ) -> ( 1st ` <. P , if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) >. ) = P )
61	12, 14, 60	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` <. P , if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) >. ) = P )
62	59, 61	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( H ` n ) ) = P )
63	58, 62	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 2nd ` ( H ` n ) ) - ( 1st ` ( H ` n ) ) ) = ( if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) - P ) )
64	51, 63	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. H ) ` n ) = ( if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) - P ) )
65	47, 64	oveq12d 6668	. 2 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) + ( ( ( abs o. - ) o. H ) ` n ) ) = ( ( Q - if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) ) + ( if ( if ( P <_ A , A , P ) <_ Q , if ( P <_ A , A , P ) , Q ) - P ) ) )
66		eqid 2622	. . . . 5 |- ( ( abs o. - ) o. F ) = ( ( abs o. - ) o. F )
67	66	ovolfsval 23239	. . . 4 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` n ) = ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) )
68	2, 67	sylan 488	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` n ) = ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) )
69	1, 10	oveq12i 6662	. . 3 |- ( Q - P ) = ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) )
70	68, 69	syl6eqr 2674	. 2 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` n ) = ( Q - P ) )
71	17, 65, 70	3eqtr4d 2666	1 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) + ( ( ( abs o. - ) o. H ) ` n ) ) = ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` n ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ifcif 4086   <.cop 4183   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ran crn 5115   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   supcsup 8346   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   seqcseq 12801   abscabs 13974   vol*covol 23231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  ioombl1lem4  23329