Theorem iunmbl2 23325

Description: The measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iunmbl2	|- ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> U_ n e. A B e. dom vol )

Distinct variable group:   A, n

Allowed substitution hint:   B( n)

Proof of Theorem iunmbl2

Dummy variables f k x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom2 7985	. . 3 |- ( A ~<_ NN <-> ( A ~< NN \/ A ~~ NN ) )
2		nnenom 12779	. . . . . 6 |- NN ~~ om
3		sdomentr 8094	. . . . . 6 |- ( ( A ~< NN /\ NN ~~ om ) -> A ~< om )
4	2, 3	mpan2 707	. . . . 5 |- ( A ~< NN -> A ~< om )
5		isfinite 8549	. . . . . 6 |- ( A e. Fin <-> A ~< om )
6		finiunmbl 23312	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> U_ n e. A B e. dom vol )
7	6	ex 450	. . . . . 6 |- ( A e. Fin -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
8	5, 7	sylbir 225	. . . . 5 |- ( A ~< om -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
9	4, 8	syl 17	. . . 4 |- ( A ~< NN -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
10		bren 7964	. . . . 5 |- ( A ~~ NN <-> E. f f : A -1-1-onto-> NN )
11		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ n f : A -1-1-onto-> NN
12		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n NN
13		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B
14	13	nfcri 2758	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B
15	12, 14	nfrex 3007	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ n E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B
16		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> f : A --> NN )
17	16	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A ) -> ( f ` n ) e. NN )
18	17	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A /\ x e. B ) -> ( f ` n ) e. NN )
19		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A /\ x e. B ) -> x e. B )
20		f1ocnvfv1 6532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A ) -> ( `' f ` ( f ` n ) ) = n )
21	20	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A /\ x e. B ) -> ( `' f ` ( f ` n ) ) = n )
22	21	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A /\ x e. B ) -> n = ( `' f ` ( f ` n ) ) )
23		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = ( `' f ` ( f ` n ) ) -> B = [_ ( `' f ` ( f ` n ) ) / n ]_ B )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A /\ x e. B ) -> B = [_ ( `' f ` ( f ` n ) ) / n ]_ B )
25	19, 24	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A /\ x e. B ) -> x e. [_ ( `' f ` ( f ` n ) ) / n ]_ B )
26		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( f ` n ) -> ( `' f ` k ) = ( `' f ` ( f ` n ) ) )
27	26	csbeq1d 3540	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( f ` n ) -> [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B = [_ ( `' f ` ( f ` n ) ) / n ]_ B )
28	27	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( f ` n ) -> ( x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B <-> x e. [_ ( `' f ` ( f ` n ) ) / n ]_ B ) )
29	28	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f ` n ) e. NN /\ x e. [_ ( `' f ` ( f ` n ) ) / n ]_ B ) -> E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B )
30	18, 25, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ n e. A /\ x e. B ) -> E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B )
31	30	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> ( n e. A -> ( x e. B -> E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B ) ) )
32	11, 15, 31	rexlimd 3026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> ( E. n e. A x e. B -> E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B ) )
33		f1ocnvdm 6540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ k e. NN ) -> ( `' f ` k ) e. A )
34		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = ( `' f ` k ) -> B = [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B )
35	34	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( `' f ` k ) -> ( x e. B <-> x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B ) )
36	14, 35	rspce 3304	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( `' f ` k ) e. A /\ x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B ) -> E. n e. A x e. B )
37	36	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( `' f ` k ) e. A -> ( x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B -> E. n e. A x e. B ) )
38	33, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ k e. NN ) -> ( x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B -> E. n e. A x e. B ) )
39	38	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> ( E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B -> E. n e. A x e. B ) )
40	32, 39	impbid 202	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> ( E. n e. A x e. B <-> E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B ) )
41		eliun 4524	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. U_ n e. A B <-> E. n e. A x e. B )
42		eliun 4524	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. U_ k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B <-> E. k e. NN x e. [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B )
43	40, 41, 42	3bitr4g 303	. . . . . . . . . 10 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> ( x e. U_ n e. A B <-> x e. U_ k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B ) )
44	43	eqrdv 2620	. . . . . . . . 9 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> U_ n e. A B = U_ k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B )
45	44	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> U_ n e. A B = U_ k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B )
46		rspcsbela 4006	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( `' f ` k ) e. A /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B e. dom vol )
47	33, 46	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ k e. NN ) /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B e. dom vol )
48	47	an32s 846	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ A. n e. A B e. dom vol ) /\ k e. NN ) -> [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B e. dom vol )
49	48	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> A. k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B e. dom vol )
50		iunmbl 23321	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B e. dom vol -> U_ k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B e. dom vol )
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> U_ k e. NN [_ ( `' f ` k ) / n ]_ B e. dom vol )
52	45, 51	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( f : A -1-1-onto-> NN /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> U_ n e. A B e. dom vol )
53	52	ex 450	. . . . . 6 |- ( f : A -1-1-onto-> NN -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
54	53	exlimiv 1858	. . . . 5 |- ( E. f f : A -1-1-onto-> NN -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
55	10, 54	sylbi 207	. . . 4 |- ( A ~~ NN -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
56	9, 55	jaoi 394	. . 3 |- ( ( A ~< NN \/ A ~~ NN ) -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
57	1, 56	sylbi 207	. 2 |- ( A ~<_ NN -> ( A. n e. A B e. dom vol -> U_ n e. A B e. dom vol ) )
58	57	imp 445	1 |- ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A B e. dom vol ) -> U_ n e. A B e. dom vol )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   [_csb 3533   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   omcom 7065   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   ~< csdm 7954   Fincfn 7955   NNcn 11020   volcvol 23232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234

This theorem is referenced by:  opnmblALT  23371  mbfimaopnlem  23422  mbfaddlem  23427  mbfsup  23431  dmvlsiga  30192