Theorem iscn2 21042

Description: The predicate " F is a continuous function from topology J to topology K." Definition of continuous function in [Munkres] p. 102. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscn.1	|- X = U. J
iscn.2	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
iscn2	|- ( F e. ( J Cn K ) <-> ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )

Distinct variable groups:   y, J   y, K   y, X   y, F   y, Y

Proof of Theorem iscn2

Dummy variables f j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cn 21031	. . 3 |- Cn = ( j e. Top , k e. Top |-> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. y e. k ( `' f " y ) e. j } )
2	1	elmpt2cl 6876	. 2 |- ( F e. ( J Cn K ) -> ( J e. Top /\ K e. Top ) )
3		iscn.1	. . . 4 |- X = U. J
4	3	toptopon 20722	. . 3 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
5		iscn.2	. . . 4 |- Y = U. K
6	5	toptopon 20722	. . 3 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
7		iscn 21039	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )
8	4, 6, 7	syl2anb 496	. 2 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )
9	2, 8	biadan2 674	1 |- ( F e. ( J Cn K ) <-> ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   U.cuni 4436   `'ccnv 5113   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-top 20699  df-topon 20716  df-cn 21031

This theorem is referenced by:  cntop1  21044  cntop2  21045  cnf  21050  cnima  21069  cnco  21070  ptpjcn  21414