Theorem iscnp2 21043

Description: The predicate " F is a continuous function from topology J to topology K at point P." Based on Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscn.1	|- X = U. J
iscn.2	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
iscnp2	|- ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, J   x, K, y   x, X, y   x, F, y   x, P, y   x, Y, y

Proof of Theorem iscnp2

Dummy variables f g j k v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 3920	. . . . . . 7 |- ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> -. ( ( J CnP K ) ` P ) = (/) )
2		df-ov 6653	. . . . . . . . . 10 |- ( J CnP K ) = ( CnP ` <. J , K >. )
3		ndmfv 6218	. . . . . . . . . 10 |- ( -. <. J , K >. e. dom CnP -> ( CnP ` <. J , K >. ) = (/) )
4	2, 3	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( -. <. J , K >. e. dom CnP -> ( J CnP K ) = (/) )
5	4	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( -. <. J , K >. e. dom CnP -> ( ( J CnP K ) ` P ) = ( (/) ` P ) )
6		0fv 6227	. . . . . . . 8 |- ( (/) ` P ) = (/)
7	5, 6	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( -. <. J , K >. e. dom CnP -> ( ( J CnP K ) ` P ) = (/) )
8	1, 7	nsyl2 142	. . . . . 6 |- ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> <. J , K >. e. dom CnP )
9		df-cnp 21032	. . . . . . 7 |- CnP = ( j e. Top , k e. Top |-> ( x e. U. j |-> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) )
10		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . 11 |- { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } C_ ( U. k ^m U. j )
11		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U. k ^m U. j ) e. _V
12	11	elpw2 4828	. . . . . . . . . . 11 |- ( { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } e. ~P ( U. k ^m U. j ) <-> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } C_ ( U. k ^m U. j ) )
13	10, 12	mpbir 221	. . . . . . . . . 10 |- { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } e. ~P ( U. k ^m U. j )
14	13	rgenw 2924	. . . . . . . . 9 |- A. x e. U. j { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } e. ~P ( U. k ^m U. j )
15		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. U. j |-> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) = ( x e. U. j |-> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } )
16	15	fmpt 6381	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. U. j { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } e. ~P ( U. k ^m U. j ) <-> ( x e. U. j |-> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) : U. j --> ~P ( U. k ^m U. j ) )
17	14, 16	mpbi 220	. . . . . . . 8 |- ( x e. U. j |-> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) : U. j --> ~P ( U. k ^m U. j )
18		vuniex 6954	. . . . . . . 8 |- U. j e. _V
19	11	pwex 4848	. . . . . . . 8 |- ~P ( U. k ^m U. j ) e. _V
20		fex2 7121	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. U. j |-> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) : U. j --> ~P ( U. k ^m U. j ) /\ U. j e. _V /\ ~P ( U. k ^m U. j ) e. _V ) -> ( x e. U. j |-> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) e. _V )
21	17, 18, 19, 20	mp3an 1424	. . . . . . 7 |- ( x e. U. j |-> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) e. _V
22	9, 21	dmmpt2 7240	. . . . . 6 |- dom CnP = ( Top X. Top )
23	8, 22	syl6eleq 2711	. . . . 5 |- ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> <. J , K >. e. ( Top X. Top ) )
24		opelxp 5146	. . . . 5 |- ( <. J , K >. e. ( Top X. Top ) <-> ( J e. Top /\ K e. Top ) )
25	23, 24	sylib 208	. . . 4 |- ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> ( J e. Top /\ K e. Top ) )
26	25	simpld 475	. . 3 |- ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> J e. Top )
27	25	simprd 479	. . 3 |- ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> K e. Top )
28		elfvdm 6220	. . . 4 |- ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> P e. dom ( J CnP K ) )
29		iscn.1	. . . . . . . . 9 |- X = U. J
30	29	toptopon 20722	. . . . . . . 8 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
31		iscn.2	. . . . . . . . 9 |- Y = U. K
32	31	toptopon 20722	. . . . . . . 8 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
33		cnpfval 21038	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J CnP K ) = ( x e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } ) )
34	30, 32, 33	syl2anb 496	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J CnP K ) = ( x e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } ) )
35	25, 34	syl 17	. . . . . 6 |- ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> ( J CnP K ) = ( x e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } ) )
36	35	dmeqd 5326	. . . . 5 |- ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> dom ( J CnP K ) = dom ( x e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } ) )
37		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( Y ^m X ) e. _V
38	37	rabex 4813	. . . . . . 7 |- { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } e. _V
39	38	rgenw 2924	. . . . . 6 |- A. x e. X { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } e. _V
40		dmmptg 5632	. . . . . 6 |- ( A. x e. X { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } e. _V -> dom ( x e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } ) = X )
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . 5 |- dom ( x e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. w e. K ( ( f ` x ) e. w -> E. v e. J ( x e. v /\ ( f " v ) C_ w ) ) } ) = X
42	36, 41	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> dom ( J CnP K ) = X )
43	28, 42	eleqtrd 2703	. . 3 |- ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> P e. X )
44	26, 27, 43	3jca 1242	. 2 |- ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> ( J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X ) )
45		biid 251	. . 3 |- ( P e. X <-> P e. X )
46		iscnp 21041	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
47	30, 32, 45, 46	syl3anb 1369	. 2 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
48	44, 47	biadan2 674	1 |- ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   <.cop 4183   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   CnP ccnp 21029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-top 20699  df-topon 20716  df-cnp 21032

This theorem is referenced by:  cnptop1  21046  cnptop2  21047  cnprcl  21049  cnpf  21051  cnpimaex  21060  cnpnei  21068  cnpco  21071  cnprest  21093  cnprest2  21094