Theorem cnco 21070

Description: The composition of two continuous functions is a continuous function. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnco	|- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) -> ( G o. F ) e. ( J Cn L ) )

Proof of Theorem cnco

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntop1 21044	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
2		cntop2 21045	. . 3 |- ( G e. ( K Cn L ) -> L e. Top )
3	1, 2	anim12i 590	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) -> ( J e. Top /\ L e. Top ) )
4		eqid 2622	. . . . 5 |- U. K = U. K
5		eqid 2622	. . . . 5 |- U. L = U. L
6	4, 5	cnf 21050	. . . 4 |- ( G e. ( K Cn L ) -> G : U. K --> U. L )
7		eqid 2622	. . . . 5 |- U. J = U. J
8	7, 4	cnf 21050	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : U. J --> U. K )
9		fco 6058	. . . 4 |- ( ( G : U. K --> U. L /\ F : U. J --> U. K ) -> ( G o. F ) : U. J --> U. L )
10	6, 8, 9	syl2anr 495	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) -> ( G o. F ) : U. J --> U. L )
11		cnvco 5308	. . . . . . 7 |- `' ( G o. F ) = ( `' F o. `' G )
12	11	imaeq1i 5463	. . . . . 6 |- ( `' ( G o. F ) " x ) = ( ( `' F o. `' G ) " x )
13		imaco 5640	. . . . . 6 |- ( ( `' F o. `' G ) " x ) = ( `' F " ( `' G " x ) )
14	12, 13	eqtri 2644	. . . . 5 |- ( `' ( G o. F ) " x ) = ( `' F " ( `' G " x ) )
15		simpll 790	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) /\ x e. L ) -> F e. ( J Cn K ) )
16		cnima 21069	. . . . . . 7 |- ( ( G e. ( K Cn L ) /\ x e. L ) -> ( `' G " x ) e. K )
17	16	adantll 750	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) /\ x e. L ) -> ( `' G " x ) e. K )
18		cnima 21069	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ ( `' G " x ) e. K ) -> ( `' F " ( `' G " x ) ) e. J )
19	15, 17, 18	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) /\ x e. L ) -> ( `' F " ( `' G " x ) ) e. J )
20	14, 19	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) /\ x e. L ) -> ( `' ( G o. F ) " x ) e. J )
21	20	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) -> A. x e. L ( `' ( G o. F ) " x ) e. J )
22	10, 21	jca 554	. 2 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) -> ( ( G o. F ) : U. J --> U. L /\ A. x e. L ( `' ( G o. F ) " x ) e. J ) )
23	7, 5	iscn2 21042	. 2 |- ( ( G o. F ) e. ( J Cn L ) <-> ( ( J e. Top /\ L e. Top ) /\ ( ( G o. F ) : U. J --> U. L /\ A. x e. L ( `' ( G o. F ) " x ) e. J ) ) )
24	3, 22, 23	sylanbrc 698	1 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ G e. ( K Cn L ) ) -> ( G o. F ) e. ( J Cn L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   U.cuni 4436   `'ccnv 5113   "cima 5117   o. ccom 5118   -->wf 5884  (class class class)co 6650   Topctop 20698   Cn ccn 21028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-top 20699  df-topon 20716  df-cn 21031

This theorem is referenced by:  kgencn2  21360  txcn  21429  xkoco1cn  21460  xkoco2cn  21461  xkococnlem  21462  xkococn  21463  cnmpt11  21466  cnmpt21  21474  hmeoco  21575  qtophmeo  21620  htpyco1  22777  htpyco2  22778  phtpyco2  22789  reparphti  22797  reparpht  22798  phtpcco2  22799  copco  22818  pi1cof  22859  pi1coghm  22861  cnpconn  31212  txsconnlem  31222  txsconn  31223  cvmlift3lem2  31302  cvmlift3lem4  31304  cvmlift3lem5  31305  cvmlift3lem6  31306  hausgraph  37790