Theorem islpln3 34819

Description: The predicate "is a lattice plane". (Contributed by NM, 17-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
islpln3.b	|- B = ( Base ` K )
islpln3.l	|- .<_ = ( le ` K )
islpln3.j	|- .\/ = ( join ` K )
islpln3.a	|- A = ( Atoms ` K )
islpln3.n	|- N = ( LLines ` K )
islpln3.p	|- P = ( LPlanes ` K )

Assertion

Ref	Expression
islpln3	|- ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> ( X e. P <-> E. y e. N E. p e. A ( -. p .<_ y /\ X = ( y .\/ p ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, p   y, p, B   K, p, y   .<_ , p   N, p, y   X, p, y

Allowed substitution hints:   A( y)   P( y, p)   .\/ ( y, p)   .<_ ( y)

Proof of Theorem islpln3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islpln3.b	. . 3 |- B = ( Base ` K )
2		eqid 2622	. . 3 |- ( <o ` K ) = ( <o ` K )
3		islpln3.n	. . 3 |- N = ( LLines ` K )
4		islpln3.p	. . 3 |- P = ( LPlanes ` K )
5	1, 2, 3, 4	islpln4 34817	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> ( X e. P <-> E. y e. N y ( <o ` K ) X ) )
6		simpll 790	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B ) /\ y e. N ) -> K e. HL )
7	1, 3	llnbase 34795	. . . . . 6 |- ( y e. N -> y e. B )
8	7	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B ) /\ y e. N ) -> y e. B )
9		simplr 792	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B ) /\ y e. N ) -> X e. B )
10		islpln3.l	. . . . . 6 |- .<_ = ( le ` K )
11		islpln3.j	. . . . . 6 |- .\/ = ( join ` K )
12		islpln3.a	. . . . . 6 |- A = ( Atoms ` K )
13	1, 10, 11, 2, 12	cvrval3 34699	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ y e. B /\ X e. B ) -> ( y ( <o ` K ) X <-> E. p e. A ( -. p .<_ y /\ ( y .\/ p ) = X ) ) )
14	6, 8, 9, 13	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B ) /\ y e. N ) -> ( y ( <o ` K ) X <-> E. p e. A ( -. p .<_ y /\ ( y .\/ p ) = X ) ) )
15		eqcom 2629	. . . . . . 7 |- ( ( y .\/ p ) = X <-> X = ( y .\/ p ) )
16	15	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B ) /\ y e. N ) /\ p e. A ) -> ( ( y .\/ p ) = X <-> X = ( y .\/ p ) ) )
17	16	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B ) /\ y e. N ) /\ p e. A ) -> ( ( -. p .<_ y /\ ( y .\/ p ) = X ) <-> ( -. p .<_ y /\ X = ( y .\/ p ) ) ) )
18	17	rexbidva 3049	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B ) /\ y e. N ) -> ( E. p e. A ( -. p .<_ y /\ ( y .\/ p ) = X ) <-> E. p e. A ( -. p .<_ y /\ X = ( y .\/ p ) ) ) )
19	14, 18	bitrd 268	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B ) /\ y e. N ) -> ( y ( <o ` K ) X <-> E. p e. A ( -. p .<_ y /\ X = ( y .\/ p ) ) ) )
20	19	rexbidva 3049	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> ( E. y e. N y ( <o ` K ) X <-> E. y e. N E. p e. A ( -. p .<_ y /\ X = ( y .\/ p ) ) ) )
21	5, 20	bitrd 268	1 |- ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> ( X e. P <-> E. y e. N E. p e. A ( -. p .<_ y /\ X = ( y .\/ p ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   lecple 15948   joincjn 16944   <o ccvr 34549   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   LLinesclln 34777   LPlanesclpl 34778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785

This theorem is referenced by:  islpln5  34821  lplnexllnN  34850