Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrval3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cvrval3 34699
Description: Binary relation expressing  Y covers  X. (Contributed by NM, 16-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrval3.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cvrval3.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cvrval3.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cvrval3.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
cvrval3.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
cvrval3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    B, p    C, p    K, p    .<_ , p    X, p    Y, p
Allowed substitution hint:    .\/ ( p)

Proof of Theorem cvrval3
StepHypRef Expression
1 cvrval3.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2622 . . . . . 6  |-  ( lt
`  K )  =  ( lt `  K
)
3 cvrval3.c . . . . . 6  |-  C  =  (  <o  `  K )
41, 2, 3cvrlt 34557 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  X ( lt
`  K ) Y )
5 cvrval3.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
6 cvrval3.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
7 cvrval3.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
81, 5, 2, 6, 3, 7hlrelat3 34698 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  E. p  e.  A  ( X C ( X 
.\/  p )  /\  ( X  .\/  p ) 
.<_  Y ) )
94, 8syldan 487 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  E. p  e.  A  ( X C ( X 
.\/  p )  /\  ( X  .\/  p ) 
.<_  Y ) )
10 simp3l 1089 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  ->  X C ( X  .\/  p ) )
11 simp1l1 1154 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  ->  K  e.  HL )
12 simp1l2 1155 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  ->  X  e.  B )
13 simp2 1062 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  ->  p  e.  A )
141, 5, 6, 3, 7cvr1 34696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  p  e.  A )  ->  ( -.  p  .<_  X  <-> 
X C ( X 
.\/  p ) ) )
1511, 12, 13, 14syl3anc 1326 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  -> 
( -.  p  .<_  X  <-> 
X C ( X 
.\/  p ) ) )
1610, 15mpbird 247 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  ->  -.  p  .<_  X )
17 hllat 34650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1811, 17syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  ->  K  e.  Lat )
191, 7atbase 34576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  A  ->  p  e.  B )
20193ad2ant2 1083 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  ->  p  e.  B )
211, 6latjcl 17051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  p  e.  B )  ->  ( X  .\/  p
)  e.  B )
2218, 12, 20, 21syl3anc 1326 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  -> 
( X  .\/  p
)  e.  B )
231, 2, 3cvrlt 34557 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  ( X  .\/  p )  e.  B )  /\  X C ( X  .\/  p ) )  ->  X ( lt `  K ) ( X 
.\/  p ) )
2411, 12, 22, 10, 23syl31anc 1329 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  ->  X ( lt `  K ) ( X 
.\/  p ) )
25 simp3r 1090 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  -> 
( X  .\/  p
)  .<_  Y )
26 hlpos 34652 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
2711, 26syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  ->  K  e.  Poset )
28 simp1l3 1156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  ->  Y  e.  B )
29 simp1r 1086 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  ->  X C Y )
301, 5, 2, 3cvrnbtwn2 34562 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .\/  p )  e.  B )  /\  X C Y )  -> 
( ( X ( lt `  K ) ( X  .\/  p
)  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y )  <-> 
( X  .\/  p
)  =  Y ) )
3127, 12, 28, 22, 29, 30syl131anc 1339 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  -> 
( ( X ( lt `  K ) ( X  .\/  p
)  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y )  <-> 
( X  .\/  p
)  =  Y ) )
3224, 25, 31mpbi2and 956 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  -> 
( X  .\/  p
)  =  Y )
3316, 32jca 554 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  -> 
( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) )
34333exp 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( p  e.  A  ->  ( ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y )  ->  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) ) ) )
3534reximdvai 3015 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( E. p  e.  A  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y )  ->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) ) )
369, 35mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) )
3736ex 450 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  ->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) ) )
38 simp3l 1089 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) )  ->  -.  p  .<_  X )
39 simp11 1091 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) )  ->  K  e.  HL )
40 simp12 1092 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) )  ->  X  e.  B )
41 simp2 1062 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) )  ->  p  e.  A )
4239, 40, 41, 14syl3anc 1326 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) )  ->  ( -.  p  .<_  X  <->  X C
( X  .\/  p
) ) )
4338, 42mpbid 222 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) )  ->  X C ( X  .\/  p ) )
44 simp3r 1090 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) )  ->  ( X  .\/  p )  =  Y )
4543, 44breqtrd 4679 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) )  ->  X C Y )
4645rexlimdv3a 3033 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X 
.\/  p )  =  Y )  ->  X C Y ) )
4737, 46impbid 202 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 196    /\ wa 384    /\ w3a 1037    = wceq 1483    e. wcel 1990   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   lecple 15948   Posetcpo 16940   ltcplt 16941   joincjn 16944   Latclat 17045    <o ccvr 34549   Atomscatm 34550   HLchlt 34637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638
This theorem is referenced by:  cvrval4N  34700  cvrval5  34701  islln3  34796  llnexatN  34807  islpln3  34819  lplnexatN  34849  islvol3  34862  isline4N  35063  lhpexnle  35292
  Copyright terms: Public domain W3C validator