Theorem ismon2 16394

Description: Write out the monomorphism property directly. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismon.b	|- B = ( Base ` C )
ismon.h	|- H = ( Hom ` C )
ismon.o	|- .x. = (comp ` C )
ismon.s	|- M = (Mono ` C )
ismon.c	|- ( ph -> C e. Cat )
ismon.x	|- ( ph -> X e. B )
ismon.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
ismon2	|- ( ph -> ( F e. ( X M Y ) <-> ( F e. ( X H Y ) /\ A. z e. B A. g e. ( z H X ) A. h e. ( z H X ) ( ( F ( <. z , X >. .x. Y ) g ) = ( F ( <. z , X >. .x. Y ) h ) -> g = h ) ) ) )

Distinct variable groups:   g, h, z, B   ph, g, h, z   C, g, h, z   g, H, h, z   .x. , g, h, z   g, F, h, z   g, X, h, z   g, Y, h, z

Allowed substitution hints:   M( z, g, h)

Proof of Theorem ismon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismon.b	. . 3 |- B = ( Base ` C )
2		ismon.h	. . 3 |- H = ( Hom ` C )
3		ismon.o	. . 3 |- .x. = (comp ` C )
4		ismon.s	. . 3 |- M = (Mono ` C )
5		ismon.c	. . 3 |- ( ph -> C e. Cat )
6		ismon.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
7		ismon.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. B )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ismon 16393	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( X M Y ) <-> ( F e. ( X H Y ) /\ A. z e. B Fun `' ( g e. ( z H X ) |-> ( F ( <. z , X >. .x. Y ) g ) ) ) ) )
9	5	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X H Y ) ) /\ ( z e. B /\ g e. ( z H X ) ) ) -> C e. Cat )
10		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X H Y ) ) /\ ( z e. B /\ g e. ( z H X ) ) ) -> z e. B )
11	6	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X H Y ) ) /\ ( z e. B /\ g e. ( z H X ) ) ) -> X e. B )
12	7	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X H Y ) ) /\ ( z e. B /\ g e. ( z H X ) ) ) -> Y e. B )
13		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X H Y ) ) /\ ( z e. B /\ g e. ( z H X ) ) ) -> g e. ( z H X ) )
14		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X H Y ) ) /\ ( z e. B /\ g e. ( z H X ) ) ) -> F e. ( X H Y ) )
15	1, 2, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 14	catcocl 16346	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X H Y ) ) /\ ( z e. B /\ g e. ( z H X ) ) ) -> ( F ( <. z , X >. .x. Y ) g ) e. ( z H Y ) )
16	15	anassrs 680	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ F e. ( X H Y ) ) /\ z e. B ) /\ g e. ( z H X ) ) -> ( F ( <. z , X >. .x. Y ) g ) e. ( z H Y ) )
17	16	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X H Y ) ) /\ z e. B ) -> A. g e. ( z H X ) ( F ( <. z , X >. .x. Y ) g ) e. ( z H Y ) )
18		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( z H X ) |-> ( F ( <. z , X >. .x. Y ) g ) ) = ( g e. ( z H X ) |-> ( F ( <. z , X >. .x. Y ) g ) )
19	18	fmpt 6381	. . . . . . 7 |- ( A. g e. ( z H X ) ( F ( <. z , X >. .x. Y ) g ) e. ( z H Y ) <-> ( g e. ( z H X ) |-> ( F ( <. z , X >. .x. Y ) g ) ) : ( z H X ) --> ( z H Y ) )
20		df-f1 5893	. . . . . . . 8 |- ( ( g e. ( z H X ) |-> ( F ( <. z , X >. .x. Y ) g ) ) : ( z H X ) -1-1-> ( z H Y ) <-> ( ( g e. ( z H X ) |-> ( F ( <. z , X >. .x. Y ) g ) ) : ( z H X ) --> ( z H Y ) /\ Fun `' ( g e. ( z H X ) |-> ( F ( <. z , X >. .x. Y ) g ) ) ) )
21	20	baib 944	. . . . . . 7 |- ( ( g e. ( z H X ) |-> ( F ( <. z , X >. .x. Y ) g ) ) : ( z H X ) --> ( z H Y ) -> ( ( g e. ( z H X ) |-> ( F ( <. z , X >. .x. Y ) g ) ) : ( z H X ) -1-1-> ( z H Y ) <-> Fun `' ( g e. ( z H X ) |-> ( F ( <. z , X >. .x. Y ) g ) ) ) )
22	19, 21	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( A. g e. ( z H X ) ( F ( <. z , X >. .x. Y ) g ) e. ( z H Y ) -> ( ( g e. ( z H X ) |-> ( F ( <. z , X >. .x. Y ) g ) ) : ( z H X ) -1-1-> ( z H Y ) <-> Fun `' ( g e. ( z H X ) |-> ( F ( <. z , X >. .x. Y ) g ) ) ) )
23		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( g = h -> ( F ( <. z , X >. .x. Y ) g ) = ( F ( <. z , X >. .x. Y ) h ) )
24	18, 23	f1mpt 6518	. . . . . . 7 |- ( ( g e. ( z H X ) |-> ( F ( <. z , X >. .x. Y ) g ) ) : ( z H X ) -1-1-> ( z H Y ) <-> ( A. g e. ( z H X ) ( F ( <. z , X >. .x. Y ) g ) e. ( z H Y ) /\ A. g e. ( z H X ) A. h e. ( z H X ) ( ( F ( <. z , X >. .x. Y ) g ) = ( F ( <. z , X >. .x. Y ) h ) -> g = h ) ) )
25	24	baib 944	. . . . . 6 |- ( A. g e. ( z H X ) ( F ( <. z , X >. .x. Y ) g ) e. ( z H Y ) -> ( ( g e. ( z H X ) |-> ( F ( <. z , X >. .x. Y ) g ) ) : ( z H X ) -1-1-> ( z H Y ) <-> A. g e. ( z H X ) A. h e. ( z H X ) ( ( F ( <. z , X >. .x. Y ) g ) = ( F ( <. z , X >. .x. Y ) h ) -> g = h ) ) )
26	22, 25	bitr3d 270	. . . . 5 |- ( A. g e. ( z H X ) ( F ( <. z , X >. .x. Y ) g ) e. ( z H Y ) -> ( Fun `' ( g e. ( z H X ) |-> ( F ( <. z , X >. .x. Y ) g ) ) <-> A. g e. ( z H X ) A. h e. ( z H X ) ( ( F ( <. z , X >. .x. Y ) g ) = ( F ( <. z , X >. .x. Y ) h ) -> g = h ) ) )
27	17, 26	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X H Y ) ) /\ z e. B ) -> ( Fun `' ( g e. ( z H X ) |-> ( F ( <. z , X >. .x. Y ) g ) ) <-> A. g e. ( z H X ) A. h e. ( z H X ) ( ( F ( <. z , X >. .x. Y ) g ) = ( F ( <. z , X >. .x. Y ) h ) -> g = h ) ) )
28	27	ralbidva 2985	. . 3 |- ( ( ph /\ F e. ( X H Y ) ) -> ( A. z e. B Fun `' ( g e. ( z H X ) |-> ( F ( <. z , X >. .x. Y ) g ) ) <-> A. z e. B A. g e. ( z H X ) A. h e. ( z H X ) ( ( F ( <. z , X >. .x. Y ) g ) = ( F ( <. z , X >. .x. Y ) h ) -> g = h ) ) )
29	28	pm5.32da 673	. 2 |- ( ph -> ( ( F e. ( X H Y ) /\ A. z e. B Fun `' ( g e. ( z H X ) |-> ( F ( <. z , X >. .x. Y ) g ) ) ) <-> ( F e. ( X H Y ) /\ A. z e. B A. g e. ( z H X ) A. h e. ( z H X ) ( ( F ( <. z , X >. .x. Y ) g ) = ( F ( <. z , X >. .x. Y ) h ) -> g = h ) ) ) )
30	8, 29	bitrd 268	1 |- ( ph -> ( F e. ( X M Y ) <-> ( F e. ( X H Y ) /\ A. z e. B A. g e. ( z H X ) A. h e. ( z H X ) ( ( F ( <. z , X >. .x. Y ) g ) = ( F ( <. z , X >. .x. Y ) h ) -> g = h ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   Fun wfun 5882   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   Hom chom 15952  compcco 15953   Catccat 16325  Monocmon 16388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-cat 16329  df-mon 16390

This theorem is referenced by:  moni  16396  sectmon  16442  fthmon  16587  setcmon  16737