MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setcmon Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem setcmon 16737
Description: A monomorphism of sets is an injection. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
setcmon.c |- C = ( SetCat ` U )
setcmon.u |- ( ph -> U e. V )
setcmon.x |- ( ph -> X e. U )
setcmon.y |- ( ph -> Y e. U )
setcmon.h |- M = (Mono ` C )
Assertion
Ref Expression
setcmon |- ( ph -> ( F e. ( X M Y ) <-> F : X -1-1-> Y ) )
Proof of Theorem setcmon
Dummy variables x g h y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( Base ` C ) = ( Base ` C )
2 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( Hom ` C ) = ( Hom ` C )
3 eqid 2622 . . . . . 6 |- (comp ` C ) = (comp ` C )
4 setcmon.h . . . . . 6 |- M = (Mono ` C )
5 setcmon.u . . . . . . 7 |- ( ph -> U e. V )
6 setcmon.c . . . . . . . 8 |- C = ( SetCat ` U )
76setccat 16735 . . . . . . 7 |- ( U e. V -> C e. Cat )
85, 7syl 17 . . . . . 6 |- ( ph -> C e. Cat )
9 setcmon.x . . . . . . 7 |- ( ph -> X e. U )
106, 5setcbas 16728 . . . . . . 7 |- ( ph -> U = ( Base ` C ) )
119, 10eleqtrd 2703 . . . . . 6 |- ( ph -> X e. ( Base ` C ) )
12 setcmon.y . . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. U )
1312, 10eleqtrd 2703 . . . . . 6 |- ( ph -> Y e. ( Base ` C ) )
141, 2, 3, 4, 8, 11, 13monhom 16395 . . . . 5 |- ( ph -> ( X M Y ) C_ ( X ( Hom ` C ) Y ) )
1514sselda 3603 . . . 4 |- ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) -> F e. ( X ( Hom ` C ) Y ) )
166, 5, 2, 9, 12elsetchom 16731 . . . . 5 |- ( ph -> ( F e. ( X ( Hom ` C ) Y ) <-> F : X --> Y ) )
1716biimpa 501 . . . 4 |- ( ( ph /\ F e. ( X ( Hom ` C ) Y ) ) -> F : X --> Y )
1815, 17syldan 487 . . 3 |- ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) -> F : X --> Y )
19 simprr 796 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) /\ ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
2019sneqd 4189 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) /\ ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> { ( F ` x ) } = { ( F ` y ) } )
2120xpeq2d 5139 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) /\ ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( X X. { ( F ` x ) } ) = ( X X. { ( F ` y ) } ) )
2218adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) /\ ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> F : X --> Y )
23 ffn 6045 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F : X --> Y -> F Fn X )
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) /\ ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> F Fn X )
25 simprll 802 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) /\ ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> x e. X )
26 fcoconst 6401 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F Fn X /\ x e. X ) -> ( F o. ( X X. { x } ) ) = ( X X. { ( F ` x ) } ) )
2724, 25, 26syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) /\ ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( F o. ( X X. { x } ) ) = ( X X. { ( F ` x ) } ) )
28 simprlr 803 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) /\ ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> y e. X )
29 fcoconst 6401 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F Fn X /\ y e. X ) -> ( F o. ( X X. { y } ) ) = ( X X. { ( F ` y ) } ) )
3024, 28, 29syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) /\ ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( F o. ( X X. { y } ) ) = ( X X. { ( F ` y ) } ) )
3121, 27, 303eqtr4d 2666 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) /\ ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( F o. ( X X. { x } ) ) = ( F o. ( X X. { y } ) ) )
325ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) /\ ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> U e. V )
339ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) /\ ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> X e. U )
3412ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) /\ ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> Y e. U )
35 fconst6g 6094 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. X -> ( X X. { x } ) : X --> X )
3625, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) /\ ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( X X. { x } ) : X --> X )
376, 32, 3, 33, 33, 34, 36, 22setcco 16733 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) /\ ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( F ( <. X , X >. (comp ` C ) Y ) ( X X. { x } ) ) = ( F o. ( X X. { x } ) ) )
38 fconst6g 6094 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. X -> ( X X. { y } ) : X --> X )
3928, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) /\ ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( X X. { y } ) : X --> X )
406, 32, 3, 33, 33, 34, 39, 22setcco 16733 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) /\ ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( F ( <. X , X >. (comp ` C ) Y ) ( X X. { y } ) ) = ( F o. ( X X. { y } ) ) )
4131, 37, 403eqtr4d 2666 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) /\ ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( F ( <. X , X >. (comp ` C ) Y ) ( X X. { x } ) ) = ( F ( <. X , X >. (comp ` C ) Y ) ( X X. { y } ) ) )
428ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) /\ ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> C e. Cat )
4311ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) /\ ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> X e. ( Base ` C ) )
4413ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) /\ ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> Y e. ( Base ` C ) )
45 simplr 792 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) /\ ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> F e. ( X M Y ) )
466, 32, 2, 33, 33elsetchom 16731 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) /\ ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( X X. { x } ) e. ( X ( Hom ` C ) X ) <-> ( X X. { x } ) : X --> X ) )
4736, 46mpbird 247 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) /\ ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( X X. { x } ) e. ( X ( Hom ` C ) X ) )
486, 32, 2, 33, 33elsetchom 16731 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) /\ ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( X X. { y } ) e. ( X ( Hom ` C ) X ) <-> ( X X. { y } ) : X --> X ) )
4939, 48mpbird 247 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) /\ ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( X X. { y } ) e. ( X ( Hom ` C ) X ) )
501, 2, 3, 4, 42, 43, 44, 43, 45, 47, 49moni 16396 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) /\ ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( F ( <. X , X >. (comp ` C ) Y ) ( X X. { x } ) ) = ( F ( <. X , X >. (comp ` C ) Y ) ( X X. { y } ) ) <-> ( X X. { x } ) = ( X X. { y } ) ) )
5141, 50mpbid 222 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) /\ ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( X X. { x } ) = ( X X. { y } ) )
5251fveq1d 6193 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) /\ ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( X X. { x } ) ` x ) = ( ( X X. { y } ) ` x ) )
53 vex 3203 . . . . . . . 8 |- x e. _V
5453fvconst2 6469 . . . . . . 7 |- ( x e. X -> ( ( X X. { x } ) ` x ) = x )
5525, 54syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) /\ ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( X X. { x } ) ` x ) = x )
56 vex 3203 . . . . . . . 8 |- y e. _V
5756fvconst2 6469 . . . . . . 7 |- ( x e. X -> ( ( X X. { y } ) ` x ) = y )
5825, 57syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) /\ ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( X X. { y } ) ` x ) = y )
5952, 55, 583eqtr3d 2664 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) /\ ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> x = y )
6059expr 643 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
6160ralrimivva 2971 . . 3 |- ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) -> A. x e. X A. y e. X ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
62 dff13 6512 . . 3 |- ( F : X -1-1-> Y <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
6318, 61, 62sylanbrc 698 . 2 |- ( ( ph /\ F e. ( X M Y ) ) -> F : X -1-1-> Y )
64 f1f 6101 . . . 4 |- ( F : X -1-1-> Y -> F : X --> Y )
6516biimpar 502 . . . 4 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> F e. ( X ( Hom ` C ) Y ) )
6664, 65sylan2 491 . . 3 |- ( ( ph /\ F : X -1-1-> Y ) -> F e. ( X ( Hom ` C ) Y ) )
6710adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ F : X -1-1-> Y ) -> U = ( Base ` C ) )
6867eleq2d 2687 . . . . 5 |- ( ( ph /\ F : X -1-1-> Y ) -> ( z e. U <-> z e. ( Base ` C ) ) )
695ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ F : X -1-1-> Y ) /\ ( z e. U /\ ( g e. ( z ( Hom ` C ) X ) /\ h e. ( z ( Hom ` C ) X ) ) ) ) -> U e. V )
70 simprl 794 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ F : X -1-1-> Y ) /\ ( z e. U /\ ( g e. ( z ( Hom ` C ) X ) /\ h e. ( z ( Hom ` C ) X ) ) ) ) -> z e. U )
719ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ F : X -1-1-> Y ) /\ ( z e. U /\ ( g e. ( z ( Hom ` C ) X ) /\ h e. ( z ( Hom ` C ) X ) ) ) ) -> X e. U )
7212ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ F : X -1-1-> Y ) /\ ( z e. U /\ ( g e. ( z ( Hom ` C ) X ) /\ h e. ( z ( Hom ` C ) X ) ) ) ) -> Y e. U )
73 simprrl 804 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F : X -1-1-> Y ) /\ ( z e. U /\ ( g e. ( z ( Hom ` C ) X ) /\ h e. ( z ( Hom ` C ) X ) ) ) ) -> g e. ( z ( Hom ` C ) X ) )
746, 69, 2, 70, 71elsetchom 16731 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F : X -1-1-> Y ) /\ ( z e. U /\ ( g e. ( z ( Hom ` C ) X ) /\ h e. ( z ( Hom ` C ) X ) ) ) ) -> ( g e. ( z ( Hom ` C ) X ) <-> g : z --> X ) )
7573, 74mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ F : X -1-1-> Y ) /\ ( z e. U /\ ( g e. ( z ( Hom ` C ) X ) /\ h e. ( z ( Hom ` C ) X ) ) ) ) -> g : z --> X )
7664ad2antlr 763 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ F : X -1-1-> Y ) /\ ( z e. U /\ ( g e. ( z ( Hom ` C ) X ) /\ h e. ( z ( Hom ` C ) X ) ) ) ) -> F : X --> Y )
776, 69, 3, 70, 71, 72, 75, 76setcco 16733 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ F : X -1-1-> Y ) /\ ( z e. U /\ ( g e. ( z ( Hom ` C ) X ) /\ h e. ( z ( Hom ` C ) X ) ) ) ) -> ( F ( <. z , X >. (comp ` C ) Y ) g ) = ( F o. g ) )
78 simprrr 805 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F : X -1-1-> Y ) /\ ( z e. U /\ ( g e. ( z ( Hom ` C ) X ) /\ h e. ( z ( Hom ` C ) X ) ) ) ) -> h e. ( z ( Hom ` C ) X ) )
796, 69, 2, 70, 71elsetchom 16731 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F : X -1-1-> Y ) /\ ( z e. U /\ ( g e. ( z ( Hom ` C ) X ) /\ h e. ( z ( Hom ` C ) X ) ) ) ) -> ( h e. ( z ( Hom ` C ) X ) <-> h : z --> X ) )
8078, 79mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ F : X -1-1-> Y ) /\ ( z e. U /\ ( g e. ( z ( Hom ` C ) X ) /\ h e. ( z ( Hom ` C ) X ) ) ) ) -> h : z --> X )
816, 69, 3, 70, 71, 72, 80, 76setcco 16733 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ F : X -1-1-> Y ) /\ ( z e. U /\ ( g e. ( z ( Hom ` C ) X ) /\ h e. ( z ( Hom ` C ) X ) ) ) ) -> ( F ( <. z , X >. (comp ` C ) Y ) h ) = ( F o. h ) )
8277, 81eqeq12d 2637 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ F : X -1-1-> Y ) /\ ( z e. U /\ ( g e. ( z ( Hom ` C ) X ) /\ h e. ( z ( Hom ` C ) X ) ) ) ) -> ( ( F ( <. z , X >. (comp ` C ) Y ) g ) = ( F ( <. z , X >. (comp ` C ) Y ) h ) <-> ( F o. g ) = ( F o. h ) ) )
83 simplr 792 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ F : X -1-1-> Y ) /\ ( z e. U /\ ( g e. ( z ( Hom ` C ) X ) /\ h e. ( z ( Hom ` C ) X ) ) ) ) -> F : X -1-1-> Y )
84 cocan1 6546 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : X -1-1-> Y /\ g : z --> X /\ h : z --> X ) -> ( ( F o. g ) = ( F o. h ) <-> g = h ) )
8583, 75, 80, 84syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ F : X -1-1-> Y ) /\ ( z e. U /\ ( g e. ( z ( Hom ` C ) X ) /\ h e. ( z ( Hom ` C ) X ) ) ) ) -> ( ( F o. g ) = ( F o. h ) <-> g = h ) )
8685biimpd 219 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ F : X -1-1-> Y ) /\ ( z e. U /\ ( g e. ( z ( Hom ` C ) X ) /\ h e. ( z ( Hom ` C ) X ) ) ) ) -> ( ( F o. g ) = ( F o. h ) -> g = h ) )
8782, 86sylbid 230 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ F : X -1-1-> Y ) /\ ( z e. U /\ ( g e. ( z ( Hom ` C ) X ) /\ h e. ( z ( Hom ` C ) X ) ) ) ) -> ( ( F ( <. z , X >. (comp ` C ) Y ) g ) = ( F ( <. z , X >. (comp ` C ) Y ) h ) -> g = h ) )
8887anassrs 680 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ F : X -1-1-> Y ) /\ z e. U ) /\ ( g e. ( z ( Hom ` C ) X ) /\ h e. ( z ( Hom ` C ) X ) ) ) -> ( ( F ( <. z , X >. (comp ` C ) Y ) g ) = ( F ( <. z , X >. (comp ` C ) Y ) h ) -> g = h ) )
8988ralrimivva 2971 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F : X -1-1-> Y ) /\ z e. U ) -> A. g e. ( z ( Hom ` C ) X ) A. h e. ( z ( Hom ` C ) X ) ( ( F ( <. z , X >. (comp ` C ) Y ) g ) = ( F ( <. z , X >. (comp ` C ) Y ) h ) -> g = h ) )
9089ex 450 . . . . 5 |- ( ( ph /\ F : X -1-1-> Y ) -> ( z e. U -> A. g e. ( z ( Hom ` C ) X ) A. h e. ( z ( Hom ` C ) X ) ( ( F ( <. z , X >. (comp ` C ) Y ) g ) = ( F ( <. z , X >. (comp ` C ) Y ) h ) -> g = h ) ) )
9168, 90sylbird 250 . . . 4 |- ( ( ph /\ F : X -1-1-> Y ) -> ( z e. ( Base ` C ) -> A. g e. ( z ( Hom ` C ) X ) A. h e. ( z ( Hom ` C ) X ) ( ( F ( <. z , X >. (comp ` C ) Y ) g ) = ( F ( <. z , X >. (comp ` C ) Y ) h ) -> g = h ) ) )
9291ralrimiv 2965 . . 3 |- ( ( ph /\ F : X -1-1-> Y ) -> A. z e. ( Base ` C ) A. g e. ( z ( Hom ` C ) X ) A. h e. ( z ( Hom ` C ) X ) ( ( F ( <. z , X >. (comp ` C ) Y ) g ) = ( F ( <. z , X >. (comp ` C ) Y ) h ) -> g = h ) )
931, 2, 3, 4, 8, 11, 13ismon2 16394 . . . 4 |- ( ph -> ( F e. ( X M Y ) <-> ( F e. ( X ( Hom ` C ) Y ) /\ A. z e. ( Base ` C ) A. g e. ( z ( Hom ` C ) X ) A. h e. ( z ( Hom ` C ) X ) ( ( F ( <. z , X >. (comp ` C ) Y ) g ) = ( F ( <. z , X >. (comp ` C ) Y ) h ) -> g = h ) ) ) )
9493adantr 481 . . 3 |- ( ( ph /\ F : X -1-1-> Y ) -> ( F e. ( X M Y ) <-> ( F e. ( X ( Hom ` C ) Y ) /\ A. z e. ( Base ` C ) A. g e. ( z ( Hom ` C ) X ) A. h e. ( z ( Hom ` C ) X ) ( ( F ( <. z , X >. (comp ` C ) Y ) g ) = ( F ( <. z , X >. (comp ` C ) Y ) h ) -> g = h ) ) ) )
9566, 92, 94mpbir2and 957 . 2 |- ( ( ph /\ F : X -1-1-> Y ) -> F e. ( X M Y ) )
9663, 95impbida 877 1 |- ( ph -> ( F e. ( X M Y ) <-> F : X -1-1-> Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {csn 4177   <.cop 4183   X. cxp 5112   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   Hom chom 15952  compcco 15953   Catccat 16325  Monocmon 16388   SetCatcsetc 16725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-hom 15966  df-cco 15967  df-cat 16329  df-cid 16330  df-mon 16390  df-setc 16726
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator