Theorem dfsalgen2 40559

Description: Alternate characterization of the sigma-algebra generated by a set. It is the smallest sigma-algebra, on the same base set, that includes the set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
dfsalgen2.1	|- ( ph -> X e. V )

Assertion

Ref	Expression
dfsalgen2	|- ( ph -> ( (SalGen ` X ) = S <-> ( ( S e. SAlg /\ U. S = U. X /\ X C_ S ) /\ A. y e. SAlg ( ( U. y = U. X /\ X C_ y ) -> S C_ y ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, S   y, X   ph, y

Allowed substitution hint:   V( y)

Proof of Theorem dfsalgen2

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . . 8 |- ( (SalGen ` X ) = S -> (SalGen ` X ) = S )
2	1	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( (SalGen ` X ) = S -> S = (SalGen ` X ) )
3	2	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ (SalGen ` X ) = S ) -> S = (SalGen ` X ) )
4		dfsalgen2.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. V )
5		salgencl 40550	. . . . . . . 8 |- ( X e. V -> (SalGen ` X ) e. SAlg )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> (SalGen ` X ) e. SAlg )
7	6	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ (SalGen ` X ) = S ) -> (SalGen ` X ) e. SAlg )
8	3, 7	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (SalGen ` X ) = S ) -> S e. SAlg )
9		unieq 4444	. . . . . . 7 |- ( (SalGen ` X ) = S -> U. (SalGen ` X ) = U. S )
10	9	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ (SalGen ` X ) = S ) -> U. (SalGen ` X ) = U. S )
11	4	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ (SalGen ` X ) = S ) -> X e. V )
12		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (SalGen ` X ) = (SalGen ` X )
13		eqid 2622	. . . . . . 7 |- U. X = U. X
14	11, 12, 13	salgenuni 40555	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ (SalGen ` X ) = S ) -> U. (SalGen ` X ) = U. X )
15	10, 14	eqtr3d 2658	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (SalGen ` X ) = S ) -> U. S = U. X )
16	12	sssalgen 40553	. . . . . . 7 |- ( X e. V -> X C_ (SalGen ` X ) )
17	11, 16	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ (SalGen ` X ) = S ) -> X C_ (SalGen ` X ) )
18		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ (SalGen ` X ) = S ) -> (SalGen ` X ) = S )
19	17, 18	sseqtrd 3641	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (SalGen ` X ) = S ) -> X C_ S )
20	8, 15, 19	3jca 1242	. . . 4 |- ( ( ph /\ (SalGen ` X ) = S ) -> ( S e. SAlg /\ U. S = U. X /\ X C_ S ) )
21	3	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ (SalGen ` X ) = S ) /\ y e. SAlg ) /\ X C_ y ) -> S = (SalGen ` X ) )
22	21	adantrl 752	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ (SalGen ` X ) = S ) /\ y e. SAlg ) /\ ( U. y = U. X /\ X C_ y ) ) -> S = (SalGen ` X ) )
23	11	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ (SalGen ` X ) = S ) /\ y e. SAlg ) /\ X C_ y ) -> X e. V )
24	23	adantrl 752	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ (SalGen ` X ) = S ) /\ y e. SAlg ) /\ ( U. y = U. X /\ X C_ y ) ) -> X e. V )
25		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ (SalGen ` X ) = S ) /\ y e. SAlg ) /\ X C_ y ) -> y e. SAlg )
26	25	adantrl 752	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ (SalGen ` X ) = S ) /\ y e. SAlg ) /\ ( U. y = U. X /\ X C_ y ) ) -> y e. SAlg )
27		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ (SalGen ` X ) = S ) /\ y e. SAlg ) /\ X C_ y ) -> X C_ y )
28	27	adantrl 752	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ (SalGen ` X ) = S ) /\ y e. SAlg ) /\ ( U. y = U. X /\ X C_ y ) ) -> X C_ y )
29		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ (SalGen ` X ) = S ) /\ y e. SAlg ) /\ ( U. y = U. X /\ X C_ y ) ) -> U. y = U. X )
30	24, 12, 26, 28, 29	salgenss 40554	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ (SalGen ` X ) = S ) /\ y e. SAlg ) /\ ( U. y = U. X /\ X C_ y ) ) -> (SalGen ` X ) C_ y )
31	22, 30	eqsstrd 3639	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ (SalGen ` X ) = S ) /\ y e. SAlg ) /\ ( U. y = U. X /\ X C_ y ) ) -> S C_ y )
32	31	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ (SalGen ` X ) = S ) /\ y e. SAlg ) -> ( ( U. y = U. X /\ X C_ y ) -> S C_ y ) )
33	32	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( ph /\ (SalGen ` X ) = S ) -> A. y e. SAlg ( ( U. y = U. X /\ X C_ y ) -> S C_ y ) )
34	20, 33	jca 554	. . 3 |- ( ( ph /\ (SalGen ` X ) = S ) -> ( ( S e. SAlg /\ U. S = U. X /\ X C_ S ) /\ A. y e. SAlg ( ( U. y = U. X /\ X C_ y ) -> S C_ y ) ) )
35	34	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( (SalGen ` X ) = S -> ( ( S e. SAlg /\ U. S = U. X /\ X C_ S ) /\ A. y e. SAlg ( ( U. y = U. X /\ X C_ y ) -> S C_ y ) ) ) )
36	4	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( S e. SAlg /\ U. S = U. X /\ X C_ S ) /\ A. y e. SAlg ( ( U. y = U. X /\ X C_ y ) -> S C_ y ) ) ) -> X e. V )
37		simprl1 1106	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( S e. SAlg /\ U. S = U. X /\ X C_ S ) /\ A. y e. SAlg ( ( U. y = U. X /\ X C_ y ) -> S C_ y ) ) ) -> S e. SAlg )
38		simprl2 1107	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( S e. SAlg /\ U. S = U. X /\ X C_ S ) /\ A. y e. SAlg ( ( U. y = U. X /\ X C_ y ) -> S C_ y ) ) ) -> U. S = U. X )
39		simprl3 1108	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( S e. SAlg /\ U. S = U. X /\ X C_ S ) /\ A. y e. SAlg ( ( U. y = U. X /\ X C_ y ) -> S C_ y ) ) ) -> X C_ S )
40		unieq 4444	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = w -> U. y = U. w )
41	40	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = w -> ( U. y = U. X <-> U. w = U. X ) )
42		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = w -> ( X C_ y <-> X C_ w ) )
43	41, 42	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = w -> ( ( U. y = U. X /\ X C_ y ) <-> ( U. w = U. X /\ X C_ w ) ) )
44		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = w -> ( S C_ y <-> S C_ w ) )
45	43, 44	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = w -> ( ( ( U. y = U. X /\ X C_ y ) -> S C_ y ) <-> ( ( U. w = U. X /\ X C_ w ) -> S C_ w ) ) )
46	45	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. SAlg ( ( U. y = U. X /\ X C_ y ) -> S C_ y ) <-> A. w e. SAlg ( ( U. w = U. X /\ X C_ w ) -> S C_ w ) )
47	46	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. SAlg ( ( U. y = U. X /\ X C_ y ) -> S C_ y ) -> A. w e. SAlg ( ( U. w = U. X /\ X C_ w ) -> S C_ w ) )
48	47	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. y e. SAlg ( ( U. y = U. X /\ X C_ y ) -> S C_ y ) /\ w e. SAlg ) -> A. w e. SAlg ( ( U. w = U. X /\ X C_ w ) -> S C_ w ) )
49		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. y e. SAlg ( ( U. y = U. X /\ X C_ y ) -> S C_ y ) /\ w e. SAlg ) -> w e. SAlg )
50	48, 49	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y e. SAlg ( ( U. y = U. X /\ X C_ y ) -> S C_ y ) /\ w e. SAlg ) -> ( A. w e. SAlg ( ( U. w = U. X /\ X C_ w ) -> S C_ w ) /\ w e. SAlg ) )
51	50	3ad2antr1 1226	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. SAlg ( ( U. y = U. X /\ X C_ y ) -> S C_ y ) /\ ( w e. SAlg /\ U. w = U. X /\ X C_ w ) ) -> ( A. w e. SAlg ( ( U. w = U. X /\ X C_ w ) -> S C_ w ) /\ w e. SAlg ) )
52		3simpc 1060	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. SAlg /\ U. w = U. X /\ X C_ w ) -> ( U. w = U. X /\ X C_ w ) )
53	52	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. SAlg ( ( U. y = U. X /\ X C_ y ) -> S C_ y ) /\ ( w e. SAlg /\ U. w = U. X /\ X C_ w ) ) -> ( U. w = U. X /\ X C_ w ) )
54		rspa 2930	. . . . . . 7 |- ( ( A. w e. SAlg ( ( U. w = U. X /\ X C_ w ) -> S C_ w ) /\ w e. SAlg ) -> ( ( U. w = U. X /\ X C_ w ) -> S C_ w ) )
55	51, 53, 54	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ( A. y e. SAlg ( ( U. y = U. X /\ X C_ y ) -> S C_ y ) /\ ( w e. SAlg /\ U. w = U. X /\ X C_ w ) ) -> S C_ w )
56	55	adantll 750	. . . . 5 |- ( ( ( ( S e. SAlg /\ U. S = U. X /\ X C_ S ) /\ A. y e. SAlg ( ( U. y = U. X /\ X C_ y ) -> S C_ y ) ) /\ ( w e. SAlg /\ U. w = U. X /\ X C_ w ) ) -> S C_ w )
57	56	adantll 750	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( ( S e. SAlg /\ U. S = U. X /\ X C_ S ) /\ A. y e. SAlg ( ( U. y = U. X /\ X C_ y ) -> S C_ y ) ) ) /\ ( w e. SAlg /\ U. w = U. X /\ X C_ w ) ) -> S C_ w )
58	36, 37, 38, 39, 57	issalgend 40556	. . 3 |- ( ( ph /\ ( ( S e. SAlg /\ U. S = U. X /\ X C_ S ) /\ A. y e. SAlg ( ( U. y = U. X /\ X C_ y ) -> S C_ y ) ) ) -> (SalGen ` X ) = S )
59	58	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( ( ( S e. SAlg /\ U. S = U. X /\ X C_ S ) /\ A. y e. SAlg ( ( U. y = U. X /\ X C_ y ) -> S C_ y ) ) -> (SalGen ` X ) = S ) )
60	35, 59	impbid 202	1 |- ( ph -> ( (SalGen ` X ) = S <-> ( ( S e. SAlg /\ U. S = U. X /\ X C_ S ) /\ A. y e. SAlg ( ( U. y = U. X /\ X C_ y ) -> S C_ y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   U.cuni 4436   ` cfv 5888  SAlgcsalg 40528  SalGencsalgen 40532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-salg 40529  df-salgen 40533

This theorem is referenced by:  unisalgen2  40572