Theorem 1stmbfm 30322

Description: The first projection map is measurable with regard to the product sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
1stmbfm.1	|- ( ph -> S e. U. ran sigAlgebra )
1stmbfm.2	|- ( ph -> T e. U. ran sigAlgebra )

Assertion

Ref	Expression
1stmbfm	|- ( ph -> ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( ( S ×s T )MblFnM S ) )

Proof of Theorem 1stmbfm

Dummy variables z a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1stres 7190	. . . 4 |- ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) : ( U. S X. U. T ) --> U. S
2		1stmbfm.1	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. U. ran sigAlgebra )
3		1stmbfm.2	. . . . . 6 |- ( ph -> T e. U. ran sigAlgebra )
4		sxuni 30256	. . . . . 6 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ T e. U. ran sigAlgebra ) -> ( U. S X. U. T ) = U. ( S ×s T ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( U. S X. U. T ) = U. ( S ×s T ) )
6	5	feq2d 6031	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) : ( U. S X. U. T ) --> U. S <-> ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) : U. ( S ×s T ) --> U. S ) )
7	1, 6	mpbii 223	. . 3 |- ( ph -> ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) : U. ( S ×s T ) --> U. S )
8		unielsiga 30191	. . . . 5 |- ( S e. U. ran sigAlgebra -> U. S e. S )
9	2, 8	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> U. S e. S )
10		sxsiga 30254	. . . . . 6 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ T e. U. ran sigAlgebra ) -> ( S ×s T ) e. U. ran sigAlgebra )
11	2, 3, 10	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( S ×s T ) e. U. ran sigAlgebra )
12		unielsiga 30191	. . . . 5 |- ( ( S ×s T ) e. U. ran sigAlgebra -> U. ( S ×s T ) e. ( S ×s T ) )
13	11, 12	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> U. ( S ×s T ) e. ( S ×s T ) )
14	9, 13	elmapd 7871	. . 3 |- ( ph -> ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( U. S ^m U. ( S ×s T ) ) <-> ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) : U. ( S ×s T ) --> U. S ) )
15	7, 14	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( U. S ^m U. ( S ×s T ) ) )
16		sgon 30187	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. U. ran sigAlgebra -> S e. (sigAlgebra ` U. S ) )
17		sigasspw 30179	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. (sigAlgebra ` U. S ) -> S C_ ~P U. S )
18		pwssb 4612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ ~P U. S <-> A. a e. S a C_ U. S )
19	18	biimpi 206	. . . . . . . . . . 11 |- ( S C_ ~P U. S -> A. a e. S a C_ U. S )
20	2, 16, 17, 19	4syl 19	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. a e. S a C_ U. S )
21	20	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> a C_ U. S )
22		xpss1 5228	. . . . . . . . 9 |- ( a C_ U. S -> ( a X. U. T ) C_ ( U. S X. U. T ) )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( a X. U. T ) C_ ( U. S X. U. T ) )
24	23	sseld 3602	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( z e. ( a X. U. T ) -> z e. ( U. S X. U. T ) ) )
25	24	pm4.71rd 667	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( z e. ( a X. U. T ) <-> ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ z e. ( a X. U. T ) ) ) )
26		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) : ( U. S X. U. T ) --> U. S -> ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) Fn ( U. S X. U. T ) )
27		elpreima 6337	. . . . . . . 8 |- ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) Fn ( U. S X. U. T ) -> ( z e. ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) <-> ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) e. a ) ) )
28	1, 26, 27	mp2b 10	. . . . . . 7 |- ( z e. ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) <-> ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) e. a ) )
29		fvres 6207	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) = ( 1st ` z ) )
30	29	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> ( ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) e. a <-> ( 1st ` z ) e. a ) )
31		1st2nd2 7205	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. )
32		xp2nd 7199	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> ( 2nd ` z ) e. U. T )
33		elxp6 7200	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( a X. U. T ) <-> ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( ( 1st ` z ) e. a /\ ( 2nd ` z ) e. U. T ) ) )
34		anass 681	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( 1st ` z ) e. a ) /\ ( 2nd ` z ) e. U. T ) <-> ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( ( 1st ` z ) e. a /\ ( 2nd ` z ) e. U. T ) ) )
35		an32 839	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( 1st ` z ) e. a ) /\ ( 2nd ` z ) e. U. T ) <-> ( ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( 2nd ` z ) e. U. T ) /\ ( 1st ` z ) e. a ) )
36	33, 34, 35	3bitr2i 288	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( a X. U. T ) <-> ( ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( 2nd ` z ) e. U. T ) /\ ( 1st ` z ) e. a ) )
37	36	baib 944	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( 2nd ` z ) e. U. T ) -> ( z e. ( a X. U. T ) <-> ( 1st ` z ) e. a ) )
38	31, 32, 37	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> ( z e. ( a X. U. T ) <-> ( 1st ` z ) e. a ) )
39	30, 38	bitr4d 271	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> ( ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) e. a <-> z e. ( a X. U. T ) ) )
40	39	pm5.32i 669	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) e. a ) <-> ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ z e. ( a X. U. T ) ) )
41	28, 40	bitri 264	. . . . . 6 |- ( z e. ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) <-> ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ z e. ( a X. U. T ) ) )
42	25, 41	syl6rbbr 279	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( z e. ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) <-> z e. ( a X. U. T ) ) )
43	42	eqrdv 2620	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) = ( a X. U. T ) )
44	2	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> S e. U. ran sigAlgebra )
45	3	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> T e. U. ran sigAlgebra )
46		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> a e. S )
47		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- U. T = U. T
48		issgon 30186	. . . . . . . 8 |- ( T e. (sigAlgebra ` U. T ) <-> ( T e. U. ran sigAlgebra /\ U. T = U. T ) )
49	3, 47, 48	sylanblrc 697	. . . . . . 7 |- ( ph -> T e. (sigAlgebra ` U. T ) )
50		baselsiga 30178	. . . . . . 7 |- ( T e. (sigAlgebra ` U. T ) -> U. T e. T )
51	49, 50	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> U. T e. T )
52	51	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> U. T e. T )
53		elsx 30257	. . . . 5 |- ( ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ T e. U. ran sigAlgebra ) /\ ( a e. S /\ U. T e. T ) ) -> ( a X. U. T ) e. ( S ×s T ) )
54	44, 45, 46, 52, 53	syl22anc 1327	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( a X. U. T ) e. ( S ×s T ) )
55	43, 54	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) e. ( S ×s T ) )
56	55	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. a e. S ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) e. ( S ×s T ) )
57	11, 2	ismbfm 30314	. 2 |- ( ph -> ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( ( S ×s T )MblFnM S ) <-> ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( U. S ^m U. ( S ×s T ) ) /\ A. a e. S ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) e. ( S ×s T ) ) ) )
58	15, 56, 57	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( ( S ×s T )MblFnM S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   <.cop 4183   U.cuni 4436   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   ^m cmap 7857  sigAlgebracsiga 30170   ×_s csx 30251  MblFnMcmbfm 30312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-siga 30171  df-sigagen 30202  df-sx 30252  df-mbfm 30313

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