Theorem ptcmplem2 21857

Description: Lemma for ptcmp 21862. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptcmp.1	|- S = ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
ptcmp.2	|- X = X_ n e. A U. ( F ` n )
ptcmp.3	|- ( ph -> A e. V )
ptcmp.4	|- ( ph -> F : A --> Comp )
ptcmp.5	|- ( ph -> X e. (UFL i^i dom card ) )
ptcmplem2.5	|- ( ph -> U C_ ran S )
ptcmplem2.6	|- ( ph -> X = U. U )
ptcmplem2.7	|- ( ph -> -. E. z e. ( ~P U i^i Fin ) X = U. z )

Assertion

Ref	Expression
ptcmplem2	|- ( ph -> U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) e. dom card )

Distinct variable groups:   k, n, u, w, z, A   S, k, n, u, z   ph, k, n, u   U, k, u, z   k, V, n, u, w, z   k, F, n, u, w, z   k, X, n, u, w, z

Allowed substitution hints:   ph( z, w)   S( w)   U( w, n)

Proof of Theorem ptcmplem2

Dummy variables f g m x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptcmplem2.7	. . . 4 |- ( ph -> -. E. z e. ( ~P U i^i Fin ) X = U. z )
2		0ss 3972	. . . . . . 7 |- (/) C_ U
3		0fin 8188	. . . . . . 7 |- (/) e. Fin
4		elfpw 8268	. . . . . . 7 |- ( (/) e. ( ~P U i^i Fin ) <-> ( (/) C_ U /\ (/) e. Fin ) )
5	2, 3, 4	mpbir2an 955	. . . . . 6 |- (/) e. ( ~P U i^i Fin )
6		unieq 4444	. . . . . . . . 9 |- ( z = (/) -> U. z = U. (/) )
7		uni0 4465	. . . . . . . . 9 |- U. (/) = (/)
8	6, 7	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( z = (/) -> U. z = (/) )
9	8	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( z = (/) -> ( X = U. z <-> X = (/) ) )
10	9	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( (/) e. ( ~P U i^i Fin ) /\ X = (/) ) -> E. z e. ( ~P U i^i Fin ) X = U. z )
11	5, 10	mpan 706	. . . . 5 |- ( X = (/) -> E. z e. ( ~P U i^i Fin ) X = U. z )
12	11	necon3bi 2820	. . . 4 |- ( -. E. z e. ( ~P U i^i Fin ) X = U. z -> X =/= (/) )
13	1, 12	syl 17	. . 3 |- ( ph -> X =/= (/) )
14		n0 3931	. . 3 |- ( X =/= (/) <-> E. f f e. X )
15	13, 14	sylib 208	. 2 |- ( ph -> E. f f e. X )
16		ptcmp.2	. . . . . . 7 |- X = X_ n e. A U. ( F ` n )
17		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
18	17	unieqd 4446	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> U. ( F ` n ) = U. ( F ` k ) )
19	18	cbvixpv 7926	. . . . . . 7 |- X_ n e. A U. ( F ` n ) = X_ k e. A U. ( F ` k )
20	16, 19	eqtri 2644	. . . . . 6 |- X = X_ k e. A U. ( F ` k )
21		inss2 3834	. . . . . . . 8 |- (UFL i^i dom card ) C_ dom card
22		ptcmp.5	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. (UFL i^i dom card ) )
23	21, 22	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. dom card )
24	23	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> X e. dom card )
25	20, 24	syl5eqelr 2706	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) e. dom card )
26		ssrab2 3687	. . . . . 6 |- { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } C_ A
27	13	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> X =/= (/) )
28	20, 27	syl5eqner 2869	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) =/= (/) )
29		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( g e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( g |` { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ) ) = ( g e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( g |` { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ) )
30	29	resixpfo 7946	. . . . . 6 |- ( ( { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } C_ A /\ X_ k e. A U. ( F ` k ) =/= (/) ) -> ( g e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( g |` { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ) ) : X_ k e. A U. ( F ` k ) -onto-> X_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) )
31	26, 28, 30	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> ( g e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( g |` { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ) ) : X_ k e. A U. ( F ` k ) -onto-> X_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) )
32		fonum 8881	. . . . 5 |- ( ( X_ k e. A U. ( F ` k ) e. dom card /\ ( g e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( g |` { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ) ) : X_ k e. A U. ( F ` k ) -onto-> X_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) ) -> X_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) e. dom card )
33	25, 31, 32	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> X_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) e. dom card )
34		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
35		difexg 4808	. . . . . . . . . . 11 |- ( g e. _V -> ( g \ f ) e. _V )
36	34, 35	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> ( g \ f ) e. _V )
37		dmexg 7097	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g \ f ) e. _V -> dom ( g \ f ) e. _V )
38		uniexg 6955	. . . . . . . . . 10 |- ( dom ( g \ f ) e. _V -> U. dom ( g \ f ) e. _V )
39	36, 37, 38	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> U. dom ( g \ f ) e. _V )
40	39	ralrimivw 2967	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> A. g e. X U. dom ( g \ f ) e. _V )
41		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) ) = ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) )
42	41	fnmpt 6020	. . . . . . . 8 |- ( A. g e. X U. dom ( g \ f ) e. _V -> ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) ) Fn X )
43	40, 42	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) ) Fn X )
44		dffn4 6121	. . . . . . 7 |- ( ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) ) Fn X <-> ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) ) : X -onto-> ran ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) ) )
45	43, 44	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) ) : X -onto-> ran ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) ) )
46		fonum 8881	. . . . . 6 |- ( ( X e. dom card /\ ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) ) : X -onto-> ran ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) ) ) -> ran ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) ) e. dom card )
47	24, 45, 46	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> ran ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) ) e. dom card )
48		ssdif0 3942	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U. ( F ` k ) C_ { ( f ` k ) } <-> ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) = (/) )
49		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ { ( f ` k ) } ) -> U. ( F ` k ) C_ { ( f ` k ) } )
50		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> f e. X )
51	50, 20	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> f e. X_ k e. A U. ( F ` k ) )
52		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- f e. _V
53	52	elixp 7915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f e. X_ k e. A U. ( F ` k ) <-> ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. U. ( F ` k ) ) )
54	53	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f e. X_ k e. A U. ( F ` k ) -> A. k e. A ( f ` k ) e. U. ( F ` k ) )
55	51, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> A. k e. A ( f ` k ) e. U. ( F ` k ) )
56	55	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) -> ( f ` k ) e. U. ( F ` k ) )
57	56	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) -> { ( f ` k ) } C_ U. ( F ` k ) )
58	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ { ( f ` k ) } ) -> { ( f ` k ) } C_ U. ( F ` k ) )
59	49, 58	eqssd 3620	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ { ( f ` k ) } ) -> U. ( F ` k ) = { ( f ` k ) } )
60		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f ` k ) e. _V
61	60	ensn1 8020	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { ( f ` k ) } ~~ 1o
62	59, 61	syl6eqbr 4692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ { ( f ` k ) } ) -> U. ( F ` k ) ~~ 1o )
63	62	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) -> ( U. ( F ` k ) C_ { ( f ` k ) } -> U. ( F ` k ) ~~ 1o ) )
64	48, 63	syl5bir 233	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) -> ( ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) = (/) -> U. ( F ` k ) ~~ 1o ) )
65	64	con3d 148	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) -> ( -. U. ( F ` k ) ~~ 1o -> -. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) = (/) ) )
66		neq0 3930	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) = (/) <-> E. x x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) )
67	65, 66	syl6ib 241	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) -> ( -. U. ( F ` k ) ~~ 1o -> E. x x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) )
68		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) -> x e. U. ( F ` k ) )
69		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. U. ( F ` k ) ) /\ n e. A ) -> x e. U. ( F ` k ) )
70		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = k -> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) = x )
71	70, 18	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = k -> ( if ( n = k , x , ( f ` n ) ) e. U. ( F ` n ) <-> x e. U. ( F ` k ) ) )
72	69, 71	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. U. ( F ` k ) ) /\ n e. A ) -> ( n = k -> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) e. U. ( F ` n ) ) )
73	50, 16	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> f e. X_ n e. A U. ( F ` n ) )
74	52	elixp 7915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f e. X_ n e. A U. ( F ` n ) <-> ( f Fn A /\ A. n e. A ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) ) )
75	74	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f e. X_ n e. A U. ( F ` n ) -> A. n e. A ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) )
76	73, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> A. n e. A ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) )
77	76	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. U. ( F ` k ) ) -> A. n e. A ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) )
78	77	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. U. ( F ` k ) ) /\ n e. A ) -> ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) )
79		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. n = k -> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) = ( f ` n ) )
80	79	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. n = k -> ( if ( n = k , x , ( f ` n ) ) e. U. ( F ` n ) <-> ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) ) )
81	78, 80	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. U. ( F ` k ) ) /\ n e. A ) -> ( -. n = k -> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) e. U. ( F ` n ) ) )
82	72, 81	pm2.61d 170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. U. ( F ` k ) ) /\ n e. A ) -> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) e. U. ( F ` n ) )
83	82	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. U. ( F ` k ) ) -> A. n e. A if ( n = k , x , ( f ` n ) ) e. U. ( F ` n ) )
84		ptcmp.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A e. V )
85	84	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. U. ( F ` k ) ) -> A e. V )
86		mptelixpg 7945	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. V -> ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) e. X_ n e. A U. ( F ` n ) <-> A. n e. A if ( n = k , x , ( f ` n ) ) e. U. ( F ` n ) ) )
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. U. ( F ` k ) ) -> ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) e. X_ n e. A U. ( F ` n ) <-> A. n e. A if ( n = k , x , ( f ` n ) ) e. U. ( F ` n ) ) )
88	83, 87	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. U. ( F ` k ) ) -> ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) e. X_ n e. A U. ( F ` n ) )
89	88, 16	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. U. ( F ` k ) ) -> ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) e. X )
90	68, 89	sylan2 491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) -> ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) e. X )
91		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- k e. _V
92	91	unisn 4451	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. { k } = k
93		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) -> k e. A )
94		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m = k -> ( m e. A <-> k e. A ) )
95	93, 94	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) -> ( m = k -> m e. A ) )
96	95	pm4.71rd 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) -> ( m = k <-> ( m e. A /\ m = k ) ) )
97		equequ1 1952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( n = m -> ( n = k <-> m = k ) )
98		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( n = m -> ( f ` n ) = ( f ` m ) )
99	97, 98	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( n = m -> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) = if ( m = k , x , ( f ` m ) ) )
100		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) = ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) )
101		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- x e. _V
102		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( f ` m ) e. _V
103	101, 102	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- if ( m = k , x , ( f ` m ) ) e. _V
104	99, 100, 103	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( m e. A -> ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) ` m ) = if ( m = k , x , ( f ` m ) ) )
105	104	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m e. A -> ( ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) ` m ) =/= ( f ` m ) <-> if ( m = k , x , ( f ` m ) ) =/= ( f ` m ) ) )
106	105	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) /\ m e. A ) -> ( ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) ` m ) =/= ( f ` m ) <-> if ( m = k , x , ( f ` m ) ) =/= ( f ` m ) ) )
107		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( -. m = k -> if ( m = k , x , ( f ` m ) ) = ( f ` m ) )
108	107	necon1ai 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( if ( m = k , x , ( f ` m ) ) =/= ( f ` m ) -> m = k )
109		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) -> x =/= ( f ` k ) )
110	109	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) /\ m e. A ) -> x =/= ( f ` k ) )
111		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m = k -> if ( m = k , x , ( f ` m ) ) = x )
112		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m = k -> ( f ` m ) = ( f ` k ) )
113	111, 112	neeq12d 2855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( m = k -> ( if ( m = k , x , ( f ` m ) ) =/= ( f ` m ) <-> x =/= ( f ` k ) ) )
114	110, 113	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) /\ m e. A ) -> ( m = k -> if ( m = k , x , ( f ` m ) ) =/= ( f ` m ) ) )
115	108, 114	impbid2 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) /\ m e. A ) -> ( if ( m = k , x , ( f ` m ) ) =/= ( f ` m ) <-> m = k ) )
116	106, 115	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) /\ m e. A ) -> ( ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) ` m ) =/= ( f ` m ) <-> m = k ) )
117	116	pm5.32da 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) -> ( ( m e. A /\ ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) ` m ) =/= ( f ` m ) ) <-> ( m e. A /\ m = k ) ) )
118	96, 117	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) -> ( m = k <-> ( m e. A /\ ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) ` m ) =/= ( f ` m ) ) ) )
119	118	abbidv 2741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) -> { m | m = k } = { m | ( m e. A /\ ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) ` m ) =/= ( f ` m ) ) } )
120		df-sn 4178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { k } = { m | m = k }
121		df-rab 2921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { m e. A | ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) ` m ) =/= ( f ` m ) } = { m | ( m e. A /\ ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) ` m ) =/= ( f ` m ) ) }
122	119, 120, 121	3eqtr4g 2681	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) -> { k } = { m e. A | ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) ` m ) =/= ( f ` m ) } )
123		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f ` n ) e. _V
124	101, 123	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- if ( n = k , x , ( f ` n ) ) e. _V
125	124	rgenw 2924	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- A. n e. A if ( n = k , x , ( f ` n ) ) e. _V
126	100	fnmpt 6020	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. n e. A if ( n = k , x , ( f ` n ) ) e. _V -> ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) Fn A )
127	125, 126	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) -> ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) Fn A )
128		ixpfn 7914	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f e. X_ n e. A U. ( F ` n ) -> f Fn A )
129	73, 128	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> f Fn A )
130	129	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) -> f Fn A )
131		fndmdif 6321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) Fn A /\ f Fn A ) -> dom ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) \ f ) = { m e. A | ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) ` m ) =/= ( f ` m ) } )
132	127, 130, 131	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) -> dom ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) \ f ) = { m e. A | ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) ` m ) =/= ( f ` m ) } )
133	122, 132	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) -> { k } = dom ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) \ f ) )
134	133	unieqd 4446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) -> U. { k } = U. dom ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) \ f ) )
135	92, 134	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) -> k = U. dom ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) \ f ) )
136		difeq1 3721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) -> ( g \ f ) = ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) \ f ) )
137	136	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) -> dom ( g \ f ) = dom ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) \ f ) )
138	137	unieqd 4446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) -> U. dom ( g \ f ) = U. dom ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) \ f ) )
139	138	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) -> ( k = U. dom ( g \ f ) <-> k = U. dom ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) \ f ) ) )
140	139	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) e. X /\ k = U. dom ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) \ f ) ) -> E. g e. X k = U. dom ( g \ f ) )
141	90, 135, 140	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) -> E. g e. X k = U. dom ( g \ f ) )
142	141	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) -> ( x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) -> E. g e. X k = U. dom ( g \ f ) ) )
143	142	exlimdv 1861	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) -> ( E. x x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) -> E. g e. X k = U. dom ( g \ f ) ) )
144	67, 143	syld 47	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) -> ( -. U. ( F ` k ) ~~ 1o -> E. g e. X k = U. dom ( g \ f ) ) )
145	144	expimpd 629	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> ( ( k e. A /\ -. U. ( F ` k ) ~~ 1o ) -> E. g e. X k = U. dom ( g \ f ) ) )
146	18	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( U. ( F ` n ) ~~ 1o <-> U. ( F ` k ) ~~ 1o ) )
147	146	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( -. U. ( F ` n ) ~~ 1o <-> -. U. ( F ` k ) ~~ 1o ) )
148	147	elrab 3363	. . . . . . 7 |- ( k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } <-> ( k e. A /\ -. U. ( F ` k ) ~~ 1o ) )
149	41	elrnmpt 5372	. . . . . . . 8 |- ( k e. _V -> ( k e. ran ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) ) <-> E. g e. X k = U. dom ( g \ f ) ) )
150	91, 149	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( k e. ran ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) ) <-> E. g e. X k = U. dom ( g \ f ) )
151	145, 148, 150	3imtr4g 285	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> ( k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } -> k e. ran ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) ) ) )
152	151	ssrdv 3609	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } C_ ran ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) ) )
153		ssnum 8862	. . . . 5 |- ( ( ran ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) ) e. dom card /\ { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } C_ ran ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) ) ) -> { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } e. dom card )
154	47, 152, 153	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } e. dom card )
155		xpnum 8777	. . . 4 |- ( ( X_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) e. dom card /\ { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } e. dom card ) -> ( X_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) X. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ) e. dom card )
156	33, 154, 155	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> ( X_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) X. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ) e. dom card )
157	84	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> A e. V )
158		rabexg 4812	. . . . 5 |- ( A e. V -> { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } e. _V )
159	157, 158	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } e. _V )
160		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( F ` k ) e. _V
161	160	uniex 6953	. . . . . 6 |- U. ( F ` k ) e. _V
162	161	rgenw 2924	. . . . 5 |- A. k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) e. _V
163		iunexg 7143	. . . . 5 |- ( ( { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } e. _V /\ A. k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) e. _V ) -> U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) e. _V )
164	159, 162, 163	sylancl 694	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) e. _V )
165		resixp 7943	. . . . . 6 |- ( ( { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } C_ A /\ f e. X_ k e. A U. ( F ` k ) ) -> ( f |` { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ) e. X_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) )
166	26, 51, 165	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> ( f |` { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ) e. X_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) )
167		ne0i 3921	. . . . 5 |- ( ( f |` { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ) e. X_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) -> X_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) =/= (/) )
168	166, 167	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> X_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) =/= (/) )
169		ixpiunwdom 8496	. . . 4 |- ( ( { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } e. _V /\ U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) e. _V /\ X_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) =/= (/) ) -> U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) ~<_* ( X_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) X. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ) )
170	159, 164, 168, 169	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) ~<_* ( X_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) X. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ) )
171		numwdom 8882	. . 3 |- ( ( ( X_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) X. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ) e. dom card /\ U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) ~<_* ( X_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) X. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ) ) -> U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) e. dom card )
172	156, 170, 171	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ph /\ f e. X ) -> U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) e. dom card )
173	15, 172	exlimddv 1863	1 |- ( ph -> U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) e. dom card )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888   |-> cmpt2 6652   1oc1o 7553   X_cixp 7908   ~~ cen 7952   Fincfn 7955   ~<_^* cwdom 8462   cardccrd 8761   Compccmp 21189  UFLcufl 21704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-wdom 8464  df-card 8765  df-acn 8768

This theorem is referenced by:  ptcmplem3  21858