Theorem kgenss 21346

Description: The compact generator generates a finer topology than the original. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgenss	|- ( J e. Top -> J C_ (𝑘Gen ` J ) )

Proof of Theorem kgenss

Dummy variables k x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 4467	. . . . 5 |- ( x e. J -> x C_ U. J )
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( x e. J -> x C_ U. J ) )
3		elrestr 16089	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ k e. ~P U. J /\ x e. J ) -> ( x i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
4	3	3expa 1265	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ k e. ~P U. J ) /\ x e. J ) -> ( x i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
5	4	an32s 846	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ x e. J ) /\ k e. ~P U. J ) -> ( x i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
6	5	a1d 25	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ x e. J ) /\ k e. ~P U. J ) -> ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( x i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) )
7	6	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ x e. J ) -> A. k e. ~P U. J ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( x i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) )
8	7	ex 450	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( x e. J -> A. k e. ~P U. J ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( x i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) )
9	2, 8	jcad 555	. . 3 |- ( J e. Top -> ( x e. J -> ( x C_ U. J /\ A. k e. ~P U. J ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( x i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) ) )
10		eqid 2622	. . . . 5 |- U. J = U. J
11	10	toptopon 20722	. . . 4 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
12		elkgen 21339	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` U. J ) -> ( x e. (𝑘Gen ` J ) <-> ( x C_ U. J /\ A. k e. ~P U. J ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( x i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) ) )
13	11, 12	sylbi 207	. . 3 |- ( J e. Top -> ( x e. (𝑘Gen ` J ) <-> ( x C_ U. J /\ A. k e. ~P U. J ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( x i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) ) )
14	9, 13	sylibrd 249	. 2 |- ( J e. Top -> ( x e. J -> x e. (𝑘Gen ` J ) ) )
15	14	ssrdv 3609	1 |- ( J e. Top -> J C_ (𝑘Gen ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Compccmp 21189  𝑘Genckgen 21336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-rest 16083  df-top 20699  df-topon 20716  df-kgen 21337

This theorem is referenced by:  kgenhaus  21347  kgencmp  21348  kgencmp2  21349  kgenidm  21350  iskgen2  21351  kgencn3  21361  kgen2cn  21362