Theorem kgencn3 21361

Description: The set of continuous functions from J to K is unaffected by k-ification of K, if J is already compactly generated. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgencn3	|- ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) -> ( J Cn K ) = ( J Cn (𝑘Gen ` K ) ) )

Proof of Theorem kgencn3

Dummy variables x f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
2		eqid 2622	. . . . . . 7 |- U. K = U. K
3	1, 2	cnf 21050	. . . . . 6 |- ( f e. ( J Cn K ) -> f : U. J --> U. K )
4	3	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) -> f : U. J --> U. K )
5		cnvimass 5485	. . . . . . . . 9 |- ( `' f " x ) C_ dom f
6		fdm 6051	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : U. J --> U. K -> dom f = U. J )
7	4, 6	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) -> dom f = U. J )
8	7	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) /\ x e. (𝑘Gen ` K ) ) -> dom f = U. J )
9	5, 8	syl5sseq 3653	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) /\ x e. (𝑘Gen ` K ) ) -> ( `' f " x ) C_ U. J )
10		cnvresima 5623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' ( f |` y ) " ( x i^i ( f " y ) ) ) = ( ( `' f " ( x i^i ( f " y ) ) ) i^i y )
11	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) /\ x e. (𝑘Gen ` K ) ) /\ ( y e. ~P U. J /\ ( J ↾t y ) e. Comp ) ) -> f : U. J --> U. K )
12		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : U. J --> U. K -> Fun f )
13		inpreima 6342	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Fun f -> ( `' f " ( x i^i ( f " y ) ) ) = ( ( `' f " x ) i^i ( `' f " ( f " y ) ) ) )
14	11, 12, 13	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) /\ x e. (𝑘Gen ` K ) ) /\ ( y e. ~P U. J /\ ( J ↾t y ) e. Comp ) ) -> ( `' f " ( x i^i ( f " y ) ) ) = ( ( `' f " x ) i^i ( `' f " ( f " y ) ) ) )
15	14	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) /\ x e. (𝑘Gen ` K ) ) /\ ( y e. ~P U. J /\ ( J ↾t y ) e. Comp ) ) -> ( ( `' f " ( x i^i ( f " y ) ) ) i^i y ) = ( ( ( `' f " x ) i^i ( `' f " ( f " y ) ) ) i^i y ) )
16		in32 3825	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( `' f " x ) i^i ( `' f " ( f " y ) ) ) i^i y ) = ( ( ( `' f " x ) i^i y ) i^i ( `' f " ( f " y ) ) )
17		ssrin 3838	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( `' f " x ) C_ dom f -> ( ( `' f " x ) i^i y ) C_ ( dom f i^i y ) )
18	5, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( `' f " x ) i^i y ) C_ ( dom f i^i y )
19		dminss 5547	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( dom f i^i y ) C_ ( `' f " ( f " y ) )
20	18, 19	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( `' f " x ) i^i y ) C_ ( `' f " ( f " y ) )
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) /\ x e. (𝑘Gen ` K ) ) /\ ( y e. ~P U. J /\ ( J ↾t y ) e. Comp ) ) -> ( ( `' f " x ) i^i y ) C_ ( `' f " ( f " y ) ) )
22		df-ss 3588	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( `' f " x ) i^i y ) C_ ( `' f " ( f " y ) ) <-> ( ( ( `' f " x ) i^i y ) i^i ( `' f " ( f " y ) ) ) = ( ( `' f " x ) i^i y ) )
23	21, 22	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) /\ x e. (𝑘Gen ` K ) ) /\ ( y e. ~P U. J /\ ( J ↾t y ) e. Comp ) ) -> ( ( ( `' f " x ) i^i y ) i^i ( `' f " ( f " y ) ) ) = ( ( `' f " x ) i^i y ) )
24	16, 23	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) /\ x e. (𝑘Gen ` K ) ) /\ ( y e. ~P U. J /\ ( J ↾t y ) e. Comp ) ) -> ( ( ( `' f " x ) i^i ( `' f " ( f " y ) ) ) i^i y ) = ( ( `' f " x ) i^i y ) )
25	15, 24	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) /\ x e. (𝑘Gen ` K ) ) /\ ( y e. ~P U. J /\ ( J ↾t y ) e. Comp ) ) -> ( ( `' f " ( x i^i ( f " y ) ) ) i^i y ) = ( ( `' f " x ) i^i y ) )
26	10, 25	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) /\ x e. (𝑘Gen ` K ) ) /\ ( y e. ~P U. J /\ ( J ↾t y ) e. Comp ) ) -> ( `' ( f |` y ) " ( x i^i ( f " y ) ) ) = ( ( `' f " x ) i^i y ) )
27		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) -> f e. ( J Cn K ) )
28	27	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) /\ x e. (𝑘Gen ` K ) ) /\ ( y e. ~P U. J /\ ( J ↾t y ) e. Comp ) ) -> f e. ( J Cn K ) )
29		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ~P U. J -> y C_ U. J )
30	29	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) /\ x e. (𝑘Gen ` K ) ) /\ ( y e. ~P U. J /\ ( J ↾t y ) e. Comp ) ) -> y C_ U. J )
31	1	cnrest 21089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. ( J Cn K ) /\ y C_ U. J ) -> ( f |` y ) e. ( ( J ↾t y ) Cn K ) )
32	28, 30, 31	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) /\ x e. (𝑘Gen ` K ) ) /\ ( y e. ~P U. J /\ ( J ↾t y ) e. Comp ) ) -> ( f |` y ) e. ( ( J ↾t y ) Cn K ) )
33		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) -> K e. Top )
34	33	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) /\ x e. (𝑘Gen ` K ) ) /\ ( y e. ~P U. J /\ ( J ↾t y ) e. Comp ) ) -> K e. Top )
35	2	toptopon 20722	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
36	34, 35	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) /\ x e. (𝑘Gen ` K ) ) /\ ( y e. ~P U. J /\ ( J ↾t y ) e. Comp ) ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
37		df-ima 5127	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f " y ) = ran ( f |` y )
38	37	eqimss2i 3660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ran ( f |` y ) C_ ( f " y )
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) /\ x e. (𝑘Gen ` K ) ) /\ ( y e. ~P U. J /\ ( J ↾t y ) e. Comp ) ) -> ran ( f |` y ) C_ ( f " y ) )
40		imassrn 5477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f " y ) C_ ran f
41		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : U. J --> U. K -> ran f C_ U. K )
42	11, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) /\ x e. (𝑘Gen ` K ) ) /\ ( y e. ~P U. J /\ ( J ↾t y ) e. Comp ) ) -> ran f C_ U. K )
43	40, 42	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) /\ x e. (𝑘Gen ` K ) ) /\ ( y e. ~P U. J /\ ( J ↾t y ) e. Comp ) ) -> ( f " y ) C_ U. K )
44		cnrest2 21090	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. (TopOn ` U. K ) /\ ran ( f |` y ) C_ ( f " y ) /\ ( f " y ) C_ U. K ) -> ( ( f |` y ) e. ( ( J ↾t y ) Cn K ) <-> ( f |` y ) e. ( ( J ↾t y ) Cn ( K ↾t ( f " y ) ) ) ) )
45	36, 39, 43, 44	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) /\ x e. (𝑘Gen ` K ) ) /\ ( y e. ~P U. J /\ ( J ↾t y ) e. Comp ) ) -> ( ( f |` y ) e. ( ( J ↾t y ) Cn K ) <-> ( f |` y ) e. ( ( J ↾t y ) Cn ( K ↾t ( f " y ) ) ) ) )
46	32, 45	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) /\ x e. (𝑘Gen ` K ) ) /\ ( y e. ~P U. J /\ ( J ↾t y ) e. Comp ) ) -> ( f |` y ) e. ( ( J ↾t y ) Cn ( K ↾t ( f " y ) ) ) )
47		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) /\ x e. (𝑘Gen ` K ) ) /\ ( y e. ~P U. J /\ ( J ↾t y ) e. Comp ) ) -> x e. (𝑘Gen ` K ) )
48		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) /\ x e. (𝑘Gen ` K ) ) /\ ( y e. ~P U. J /\ ( J ↾t y ) e. Comp ) ) -> ( J ↾t y ) e. Comp )
49		imacmp 21200	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. ( J Cn K ) /\ ( J ↾t y ) e. Comp ) -> ( K ↾t ( f " y ) ) e. Comp )
50	28, 48, 49	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) /\ x e. (𝑘Gen ` K ) ) /\ ( y e. ~P U. J /\ ( J ↾t y ) e. Comp ) ) -> ( K ↾t ( f " y ) ) e. Comp )
51		kgeni 21340	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. (𝑘Gen ` K ) /\ ( K ↾t ( f " y ) ) e. Comp ) -> ( x i^i ( f " y ) ) e. ( K ↾t ( f " y ) ) )
52	47, 50, 51	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) /\ x e. (𝑘Gen ` K ) ) /\ ( y e. ~P U. J /\ ( J ↾t y ) e. Comp ) ) -> ( x i^i ( f " y ) ) e. ( K ↾t ( f " y ) ) )
53		cnima 21069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f |` y ) e. ( ( J ↾t y ) Cn ( K ↾t ( f " y ) ) ) /\ ( x i^i ( f " y ) ) e. ( K ↾t ( f " y ) ) ) -> ( `' ( f |` y ) " ( x i^i ( f " y ) ) ) e. ( J ↾t y ) )
54	46, 52, 53	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) /\ x e. (𝑘Gen ` K ) ) /\ ( y e. ~P U. J /\ ( J ↾t y ) e. Comp ) ) -> ( `' ( f |` y ) " ( x i^i ( f " y ) ) ) e. ( J ↾t y ) )
55	26, 54	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) /\ x e. (𝑘Gen ` K ) ) /\ ( y e. ~P U. J /\ ( J ↾t y ) e. Comp ) ) -> ( ( `' f " x ) i^i y ) e. ( J ↾t y ) )
56	55	expr 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) /\ x e. (𝑘Gen ` K ) ) /\ y e. ~P U. J ) -> ( ( J ↾t y ) e. Comp -> ( ( `' f " x ) i^i y ) e. ( J ↾t y ) ) )
57	56	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) /\ x e. (𝑘Gen ` K ) ) -> A. y e. ~P U. J ( ( J ↾t y ) e. Comp -> ( ( `' f " x ) i^i y ) e. ( J ↾t y ) ) )
58		kgentop 21345	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. ran 𝑘Gen -> J e. Top )
59	58	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) /\ x e. (𝑘Gen ` K ) ) -> J e. Top )
60	1	toptopon 20722	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
61	59, 60	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) /\ x e. (𝑘Gen ` K ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
62		elkgen 21339	. . . . . . . . 9 |- ( J e. (TopOn ` U. J ) -> ( ( `' f " x ) e. (𝑘Gen ` J ) <-> ( ( `' f " x ) C_ U. J /\ A. y e. ~P U. J ( ( J ↾t y ) e. Comp -> ( ( `' f " x ) i^i y ) e. ( J ↾t y ) ) ) ) )
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) /\ x e. (𝑘Gen ` K ) ) -> ( ( `' f " x ) e. (𝑘Gen ` J ) <-> ( ( `' f " x ) C_ U. J /\ A. y e. ~P U. J ( ( J ↾t y ) e. Comp -> ( ( `' f " x ) i^i y ) e. ( J ↾t y ) ) ) ) )
64	9, 57, 63	mpbir2and 957	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) /\ x e. (𝑘Gen ` K ) ) -> ( `' f " x ) e. (𝑘Gen ` J ) )
65		kgenidm 21350	. . . . . . . 8 |- ( J e. ran 𝑘Gen -> (𝑘Gen ` J ) = J )
66	65	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) /\ x e. (𝑘Gen ` K ) ) -> (𝑘Gen ` J ) = J )
67	64, 66	eleqtrd 2703	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) /\ x e. (𝑘Gen ` K ) ) -> ( `' f " x ) e. J )
68	67	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) -> A. x e. (𝑘Gen ` K ) ( `' f " x ) e. J )
69	58, 60	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( J e. ran 𝑘Gen -> J e. (TopOn ` U. J ) )
70		kgentopon 21341	. . . . . . . 8 |- ( K e. (TopOn ` U. K ) -> (𝑘Gen ` K ) e. (TopOn ` U. K ) )
71	35, 70	sylbi 207	. . . . . . 7 |- ( K e. Top -> (𝑘Gen ` K ) e. (TopOn ` U. K ) )
72		iscn 21039	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ (𝑘Gen ` K ) e. (TopOn ` U. K ) ) -> ( f e. ( J Cn (𝑘Gen ` K ) ) <-> ( f : U. J --> U. K /\ A. x e. (𝑘Gen ` K ) ( `' f " x ) e. J ) ) )
73	69, 71, 72	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) -> ( f e. ( J Cn (𝑘Gen ` K ) ) <-> ( f : U. J --> U. K /\ A. x e. (𝑘Gen ` K ) ( `' f " x ) e. J ) ) )
74	73	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) -> ( f e. ( J Cn (𝑘Gen ` K ) ) <-> ( f : U. J --> U. K /\ A. x e. (𝑘Gen ` K ) ( `' f " x ) e. J ) ) )
75	4, 68, 74	mpbir2and 957	. . . 4 |- ( ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) /\ f e. ( J Cn K ) ) -> f e. ( J Cn (𝑘Gen ` K ) ) )
76	75	ex 450	. . 3 |- ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) -> ( f e. ( J Cn K ) -> f e. ( J Cn (𝑘Gen ` K ) ) ) )
77	76	ssrdv 3609	. 2 |- ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) -> ( J Cn K ) C_ ( J Cn (𝑘Gen ` K ) ) )
78	71	adantl 482	. . . 4 |- ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) -> (𝑘Gen ` K ) e. (TopOn ` U. K ) )
79		toponcom 20732	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ (𝑘Gen ` K ) e. (TopOn ` U. K ) ) -> K e. (TopOn ` U. (𝑘Gen ` K ) ) )
80	33, 78, 79	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) -> K e. (TopOn ` U. (𝑘Gen ` K ) ) )
81		kgenss 21346	. . . 4 |- ( K e. Top -> K C_ (𝑘Gen ` K ) )
82	81	adantl 482	. . 3 |- ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) -> K C_ (𝑘Gen ` K ) )
83		eqid 2622	. . . 4 |- U. (𝑘Gen ` K ) = U. (𝑘Gen ` K )
84	83	cnss2 21081	. . 3 |- ( ( K e. (TopOn ` U. (𝑘Gen ` K ) ) /\ K C_ (𝑘Gen ` K ) ) -> ( J Cn (𝑘Gen ` K ) ) C_ ( J Cn K ) )
85	80, 82, 84	syl2anc 693	. 2 |- ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) -> ( J Cn (𝑘Gen ` K ) ) C_ ( J Cn K ) )
86	77, 85	eqssd 3620	1 |- ( ( J e. ran 𝑘Gen /\ K e. Top ) -> ( J Cn K ) = ( J Cn (𝑘Gen ` K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   Compccmp 21189  𝑘Genckgen 21336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cmp 21190  df-kgen 21337

This theorem is referenced by:  kgen2cn  21362  txkgen  21455  qtopkgen  21513