Theorem iskgen2 21351

Description: A space is compactly generated iff it contains its image under the compact generator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iskgen2	|- ( J e. ran 𝑘Gen <-> ( J e. Top /\ (𝑘Gen ` J ) C_ J ) )

Proof of Theorem iskgen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kgentop 21345	. . 3 |- ( J e. ran 𝑘Gen -> J e. Top )
2		kgenidm 21350	. . . 4 |- ( J e. ran 𝑘Gen -> (𝑘Gen ` J ) = J )
3		eqimss 3657	. . . 4 |- ( (𝑘Gen ` J ) = J -> (𝑘Gen ` J ) C_ J )
4	2, 3	syl 17	. . 3 |- ( J e. ran 𝑘Gen -> (𝑘Gen ` J ) C_ J )
5	1, 4	jca 554	. 2 |- ( J e. ran 𝑘Gen -> ( J e. Top /\ (𝑘Gen ` J ) C_ J ) )
6		simpr 477	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ (𝑘Gen ` J ) C_ J ) -> (𝑘Gen ` J ) C_ J )
7		kgenss 21346	. . . . 5 |- ( J e. Top -> J C_ (𝑘Gen ` J ) )
8	7	adantr 481	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ (𝑘Gen ` J ) C_ J ) -> J C_ (𝑘Gen ` J ) )
9	6, 8	eqssd 3620	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ (𝑘Gen ` J ) C_ J ) -> (𝑘Gen ` J ) = J )
10		kgenf 21344	. . . . . 6 |- 𝑘Gen : Top --> Top
11		ffn 6045	. . . . . 6 |- (𝑘Gen : Top --> Top -> 𝑘Gen Fn Top )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 |- 𝑘Gen Fn Top
13		fnfvelrn 6356	. . . . 5 |- ( (𝑘Gen Fn Top /\ J e. Top ) -> (𝑘Gen ` J ) e. ran 𝑘Gen )
14	12, 13	mpan 706	. . . 4 |- ( J e. Top -> (𝑘Gen ` J ) e. ran 𝑘Gen )
15	14	adantr 481	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ (𝑘Gen ` J ) C_ J ) -> (𝑘Gen ` J ) e. ran 𝑘Gen )
16	9, 15	eqeltrrd 2702	. 2 |- ( ( J e. Top /\ (𝑘Gen ` J ) C_ J ) -> J e. ran 𝑘Gen )
17	5, 16	impbii 199	1 |- ( J e. ran 𝑘Gen <-> ( J e. Top /\ (𝑘Gen ` J ) C_ J ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   Topctop 20698  𝑘Genckgen 21336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-kgen 21337

This theorem is referenced by:  iskgen3  21352  llycmpkgen2  21353  1stckgen  21357  txkgen  21455  qtopkgen  21513