Theorem kqt0lem 21539

Description: Lemma for kqt0 21549. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
kqval.2	|- F = ( x e. X |-> { y e. J | x e. y } )

Assertion

Ref	Expression
kqt0lem	|- ( J e. (TopOn ` X ) -> (KQ ` J ) e. Kol2 )

Distinct variable groups:   x, y, J   x, X, y

Allowed substitution hints:   F( x, y)

Proof of Theorem kqt0lem

Dummy variables w z a b u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kqval.2	. . . . . . . . . 10 |- F = ( x e. X |-> { y e. J | x e. y } )
2	1	kqopn 21537	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ w e. J ) -> ( F " w ) e. (KQ ` J ) )
3	2	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ w e. J ) -> ( F " w ) e. (KQ ` J ) )
4		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( F " w ) -> ( ( F ` a ) e. z <-> ( F ` a ) e. ( F " w ) ) )
5		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( F " w ) -> ( ( F ` b ) e. z <-> ( F ` b ) e. ( F " w ) ) )
6	4, 5	bibi12d 335	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( F " w ) -> ( ( ( F ` a ) e. z <-> ( F ` b ) e. z ) <-> ( ( F ` a ) e. ( F " w ) <-> ( F ` b ) e. ( F " w ) ) ) )
7	6	rspcv 3305	. . . . . . . 8 |- ( ( F " w ) e. (KQ ` J ) -> ( A. z e. (KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> ( F ` b ) e. z ) -> ( ( F ` a ) e. ( F " w ) <-> ( F ` b ) e. ( F " w ) ) ) )
8	3, 7	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ w e. J ) -> ( A. z e. (KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> ( F ` b ) e. z ) -> ( ( F ` a ) e. ( F " w ) <-> ( F ` b ) e. ( F " w ) ) ) )
9	1	kqfvima 21533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ w e. J /\ a e. X ) -> ( a e. w <-> ( F ` a ) e. ( F " w ) ) )
10	9	3expa 1265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ w e. J ) /\ a e. X ) -> ( a e. w <-> ( F ` a ) e. ( F " w ) ) )
11	10	adantrr 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ w e. J ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( a e. w <-> ( F ` a ) e. ( F " w ) ) )
12	1	kqfvima 21533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ w e. J /\ b e. X ) -> ( b e. w <-> ( F ` b ) e. ( F " w ) ) )
13	12	3expa 1265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ w e. J ) /\ b e. X ) -> ( b e. w <-> ( F ` b ) e. ( F " w ) ) )
14	13	adantrl 752	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ w e. J ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( b e. w <-> ( F ` b ) e. ( F " w ) ) )
15	11, 14	bibi12d 335	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ w e. J ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( a e. w <-> b e. w ) <-> ( ( F ` a ) e. ( F " w ) <-> ( F ` b ) e. ( F " w ) ) ) )
16	15	an32s 846	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ w e. J ) -> ( ( a e. w <-> b e. w ) <-> ( ( F ` a ) e. ( F " w ) <-> ( F ` b ) e. ( F " w ) ) ) )
17	8, 16	sylibrd 249	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ w e. J ) -> ( A. z e. (KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> ( F ` b ) e. z ) -> ( a e. w <-> b e. w ) ) )
18	17	ralrimdva 2969	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( A. z e. (KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> ( F ` b ) e. z ) -> A. w e. J ( a e. w <-> b e. w ) ) )
19	1	kqfeq 21527	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ a e. X /\ b e. X ) -> ( ( F ` a ) = ( F ` b ) <-> A. y e. J ( a e. y <-> b e. y ) ) )
20	19	3expb 1266	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( F ` a ) = ( F ` b ) <-> A. y e. J ( a e. y <-> b e. y ) ) )
21		elequ2 2004	. . . . . . . 8 |- ( y = w -> ( a e. y <-> a e. w ) )
22		elequ2 2004	. . . . . . . 8 |- ( y = w -> ( b e. y <-> b e. w ) )
23	21, 22	bibi12d 335	. . . . . . 7 |- ( y = w -> ( ( a e. y <-> b e. y ) <-> ( a e. w <-> b e. w ) ) )
24	23	cbvralv 3171	. . . . . 6 |- ( A. y e. J ( a e. y <-> b e. y ) <-> A. w e. J ( a e. w <-> b e. w ) )
25	20, 24	syl6bb 276	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( F ` a ) = ( F ` b ) <-> A. w e. J ( a e. w <-> b e. w ) ) )
26	18, 25	sylibrd 249	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( A. z e. (KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> ( F ` b ) e. z ) -> ( F ` a ) = ( F ` b ) ) )
27	26	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> A. a e. X A. b e. X ( A. z e. (KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> ( F ` b ) e. z ) -> ( F ` a ) = ( F ` b ) ) )
28	1	kqffn 21528	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> F Fn X )
29		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( F ` a ) -> ( u e. z <-> ( F ` a ) e. z ) )
30	29	bibi1d 333	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( F ` a ) -> ( ( u e. z <-> v e. z ) <-> ( ( F ` a ) e. z <-> v e. z ) ) )
31	30	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( u = ( F ` a ) -> ( A. z e. (KQ ` J ) ( u e. z <-> v e. z ) <-> A. z e. (KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> v e. z ) ) )
32		eqeq1 2626	. . . . . . . 8 |- ( u = ( F ` a ) -> ( u = v <-> ( F ` a ) = v ) )
33	31, 32	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( u = ( F ` a ) -> ( ( A. z e. (KQ ` J ) ( u e. z <-> v e. z ) -> u = v ) <-> ( A. z e. (KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> v e. z ) -> ( F ` a ) = v ) ) )
34	33	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( u = ( F ` a ) -> ( A. v e. ran F ( A. z e. (KQ ` J ) ( u e. z <-> v e. z ) -> u = v ) <-> A. v e. ran F ( A. z e. (KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> v e. z ) -> ( F ` a ) = v ) ) )
35	34	ralrn 6362	. . . . 5 |- ( F Fn X -> ( A. u e. ran F A. v e. ran F ( A. z e. (KQ ` J ) ( u e. z <-> v e. z ) -> u = v ) <-> A. a e. X A. v e. ran F ( A. z e. (KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> v e. z ) -> ( F ` a ) = v ) ) )
36		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( F ` b ) -> ( v e. z <-> ( F ` b ) e. z ) )
37	36	bibi2d 332	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( F ` b ) -> ( ( ( F ` a ) e. z <-> v e. z ) <-> ( ( F ` a ) e. z <-> ( F ` b ) e. z ) ) )
38	37	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( v = ( F ` b ) -> ( A. z e. (KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> v e. z ) <-> A. z e. (KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> ( F ` b ) e. z ) ) )
39		eqeq2 2633	. . . . . . . 8 |- ( v = ( F ` b ) -> ( ( F ` a ) = v <-> ( F ` a ) = ( F ` b ) ) )
40	38, 39	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( v = ( F ` b ) -> ( ( A. z e. (KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> v e. z ) -> ( F ` a ) = v ) <-> ( A. z e. (KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> ( F ` b ) e. z ) -> ( F ` a ) = ( F ` b ) ) ) )
41	40	ralrn 6362	. . . . . 6 |- ( F Fn X -> ( A. v e. ran F ( A. z e. (KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> v e. z ) -> ( F ` a ) = v ) <-> A. b e. X ( A. z e. (KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> ( F ` b ) e. z ) -> ( F ` a ) = ( F ` b ) ) ) )
42	41	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( F Fn X -> ( A. a e. X A. v e. ran F ( A. z e. (KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> v e. z ) -> ( F ` a ) = v ) <-> A. a e. X A. b e. X ( A. z e. (KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> ( F ` b ) e. z ) -> ( F ` a ) = ( F ` b ) ) ) )
43	35, 42	bitrd 268	. . . 4 |- ( F Fn X -> ( A. u e. ran F A. v e. ran F ( A. z e. (KQ ` J ) ( u e. z <-> v e. z ) -> u = v ) <-> A. a e. X A. b e. X ( A. z e. (KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> ( F ` b ) e. z ) -> ( F ` a ) = ( F ` b ) ) ) )
44	28, 43	syl 17	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. u e. ran F A. v e. ran F ( A. z e. (KQ ` J ) ( u e. z <-> v e. z ) -> u = v ) <-> A. a e. X A. b e. X ( A. z e. (KQ ` J ) ( ( F ` a ) e. z <-> ( F ` b ) e. z ) -> ( F ` a ) = ( F ` b ) ) ) )
45	27, 44	mpbird 247	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> A. u e. ran F A. v e. ran F ( A. z e. (KQ ` J ) ( u e. z <-> v e. z ) -> u = v ) )
46	1	kqtopon 21530	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> (KQ ` J ) e. (TopOn ` ran F ) )
47		ist0-2 21148	. . 3 |- ( (KQ ` J ) e. (TopOn ` ran F ) -> ( (KQ ` J ) e. Kol2 <-> A. u e. ran F A. v e. ran F ( A. z e. (KQ ` J ) ( u e. z <-> v e. z ) -> u = v ) ) )
48	46, 47	syl 17	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( (KQ ` J ) e. Kol2 <-> A. u e. ran F A. v e. ran F ( A. z e. (KQ ` J ) ( u e. z <-> v e. z ) -> u = v ) ) )
49	45, 48	mpbird 247	1 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> (KQ ` J ) e. Kol2 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   "cima 5117   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  TopOnctopon 20715   Kol2ct0 21110  KQckq 21496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-qtop 16167  df-top 20699  df-topon 20716  df-t0 21117  df-kq 21497

This theorem is referenced by:  kqt0  21549  t0kq  21621