Theorem kqffn 21528

Description: The topological indistinguishability map is a function on the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
kqval.2	|- F = ( x e. X |-> { y e. J | x e. y } )

Assertion

Ref	Expression
kqffn	|- ( J e. V -> F Fn X )

Distinct variable groups:   x, y, J   x, X, y   x, V

Allowed substitution hints:   F( x, y)   V( y)

Proof of Theorem kqffn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3687	. . . . 5 |- { y e. J | x e. y } C_ J
2		elpw2g 4827	. . . . 5 |- ( J e. V -> ( { y e. J | x e. y } e. ~P J <-> { y e. J | x e. y } C_ J ) )
3	1, 2	mpbiri 248	. . . 4 |- ( J e. V -> { y e. J | x e. y } e. ~P J )
4	3	adantr 481	. . 3 |- ( ( J e. V /\ x e. X ) -> { y e. J | x e. y } e. ~P J )
5		kqval.2	. . 3 |- F = ( x e. X |-> { y e. J | x e. y } )
6	4, 5	fmptd 6385	. 2 |- ( J e. V -> F : X --> ~P J )
7		ffn 6045	. 2 |- ( F : X --> ~P J -> F Fn X )
8	6, 7	syl 17	1 |- ( J e. V -> F Fn X )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   |-> cmpt 4729   Fn wfn 5883   -->wf 5884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  kqtopon  21530  kqid  21531  ist0-4  21532  kqfvima  21533  kqsat  21534  kqdisj  21535  kqcldsat  21536  kqopn  21537  kqcld  21538  kqt0lem  21539  isr0  21540  r0cld  21541  regr1lem2  21543  kqreglem1  21544  kqreglem2  21545  kqnrmlem1  21546  kqnrmlem2  21547