Theorem ledivp1i 10949

Description: Less-than-or-equal-to and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.) (Contributed by NM, 17-Sep-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltplus1.1	|- A e. RR
prodgt0.2	|- B e. RR
ltmul1.3	|- C e. RR

Assertion

Ref	Expression
ledivp1i	|- ( ( 0 <_ A /\ 0 <_ C /\ A <_ ( B / ( C + 1 ) ) ) -> ( A x. C ) <_ B )

Proof of Theorem ledivp1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltplus1.1	. . . 4 |- A e. RR
2		ltmul1.3	. . . . 5 |- C e. RR
3		1re 10039	. . . . . 6 |- 1 e. RR
4	2, 3	readdcli 10053	. . . . 5 |- ( C + 1 ) e. RR
5	2	ltp1i 10927	. . . . . . 7 |- C < ( C + 1 )
6	2, 4, 5	ltleii 10160	. . . . . 6 |- C <_ ( C + 1 )
7		lemul2a 10878	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. RR /\ ( C + 1 ) e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ C <_ ( C + 1 ) ) -> ( A x. C ) <_ ( A x. ( C + 1 ) ) )
8	6, 7	mpan2 707	. . . . 5 |- ( ( C e. RR /\ ( C + 1 ) e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) -> ( A x. C ) <_ ( A x. ( C + 1 ) ) )
9	2, 4, 8	mp3an12 1414	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( A x. C ) <_ ( A x. ( C + 1 ) ) )
10	1, 9	mpan 706	. . 3 |- ( 0 <_ A -> ( A x. C ) <_ ( A x. ( C + 1 ) ) )
11	10	3ad2ant1 1082	. 2 |- ( ( 0 <_ A /\ 0 <_ C /\ A <_ ( B / ( C + 1 ) ) ) -> ( A x. C ) <_ ( A x. ( C + 1 ) ) )
12		0re 10040	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
13	12, 2, 4	lelttri 10164	. . . . . . 7 |- ( ( 0 <_ C /\ C < ( C + 1 ) ) -> 0 < ( C + 1 ) )
14	5, 13	mpan2 707	. . . . . 6 |- ( 0 <_ C -> 0 < ( C + 1 ) )
15	4	gt0ne0i 10563	. . . . . . . . 9 |- ( 0 < ( C + 1 ) -> ( C + 1 ) =/= 0 )
16		prodgt0.2	. . . . . . . . . 10 |- B e. RR
17	16, 4	redivclzi 10791	. . . . . . . . 9 |- ( ( C + 1 ) =/= 0 -> ( B / ( C + 1 ) ) e. RR )
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( 0 < ( C + 1 ) -> ( B / ( C + 1 ) ) e. RR )
19		lemul1 10875	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ ( B / ( C + 1 ) ) e. RR /\ ( ( C + 1 ) e. RR /\ 0 < ( C + 1 ) ) ) -> ( A <_ ( B / ( C + 1 ) ) <-> ( A x. ( C + 1 ) ) <_ ( ( B / ( C + 1 ) ) x. ( C + 1 ) ) ) )
20	1, 19	mp3an1 1411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B / ( C + 1 ) ) e. RR /\ ( ( C + 1 ) e. RR /\ 0 < ( C + 1 ) ) ) -> ( A <_ ( B / ( C + 1 ) ) <-> ( A x. ( C + 1 ) ) <_ ( ( B / ( C + 1 ) ) x. ( C + 1 ) ) ) )
21	20	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( B / ( C + 1 ) ) e. RR -> ( ( ( C + 1 ) e. RR /\ 0 < ( C + 1 ) ) -> ( A <_ ( B / ( C + 1 ) ) <-> ( A x. ( C + 1 ) ) <_ ( ( B / ( C + 1 ) ) x. ( C + 1 ) ) ) ) )
22	4, 21	mpani 712	. . . . . . . 8 |- ( ( B / ( C + 1 ) ) e. RR -> ( 0 < ( C + 1 ) -> ( A <_ ( B / ( C + 1 ) ) <-> ( A x. ( C + 1 ) ) <_ ( ( B / ( C + 1 ) ) x. ( C + 1 ) ) ) ) )
23	18, 22	mpcom 38	. . . . . . 7 |- ( 0 < ( C + 1 ) -> ( A <_ ( B / ( C + 1 ) ) <-> ( A x. ( C + 1 ) ) <_ ( ( B / ( C + 1 ) ) x. ( C + 1 ) ) ) )
24	23	biimpd 219	. . . . . 6 |- ( 0 < ( C + 1 ) -> ( A <_ ( B / ( C + 1 ) ) -> ( A x. ( C + 1 ) ) <_ ( ( B / ( C + 1 ) ) x. ( C + 1 ) ) ) )
25	14, 24	syl 17	. . . . 5 |- ( 0 <_ C -> ( A <_ ( B / ( C + 1 ) ) -> ( A x. ( C + 1 ) ) <_ ( ( B / ( C + 1 ) ) x. ( C + 1 ) ) ) )
26	25	imp 445	. . . 4 |- ( ( 0 <_ C /\ A <_ ( B / ( C + 1 ) ) ) -> ( A x. ( C + 1 ) ) <_ ( ( B / ( C + 1 ) ) x. ( C + 1 ) ) )
27	16	recni 10052	. . . . . . 7 |- B e. CC
28	4	recni 10052	. . . . . . 7 |- ( C + 1 ) e. CC
29	27, 28	divcan1zi 10761	. . . . . 6 |- ( ( C + 1 ) =/= 0 -> ( ( B / ( C + 1 ) ) x. ( C + 1 ) ) = B )
30	14, 15, 29	3syl 18	. . . . 5 |- ( 0 <_ C -> ( ( B / ( C + 1 ) ) x. ( C + 1 ) ) = B )
31	30	adantr 481	. . . 4 |- ( ( 0 <_ C /\ A <_ ( B / ( C + 1 ) ) ) -> ( ( B / ( C + 1 ) ) x. ( C + 1 ) ) = B )
32	26, 31	breqtrd 4679	. . 3 |- ( ( 0 <_ C /\ A <_ ( B / ( C + 1 ) ) ) -> ( A x. ( C + 1 ) ) <_ B )
33	32	3adant1 1079	. 2 |- ( ( 0 <_ A /\ 0 <_ C /\ A <_ ( B / ( C + 1 ) ) ) -> ( A x. ( C + 1 ) ) <_ B )
34	1, 2	remulcli 10054	. . 3 |- ( A x. C ) e. RR
35	1, 4	remulcli 10054	. . 3 |- ( A x. ( C + 1 ) ) e. RR
36	34, 35, 16	letri 10166	. 2 |- ( ( ( A x. C ) <_ ( A x. ( C + 1 ) ) /\ ( A x. ( C + 1 ) ) <_ B ) -> ( A x. C ) <_ B )
37	11, 33, 36	syl2anc 693	1 |- ( ( 0 <_ A /\ 0 <_ C /\ A <_ ( B / ( C + 1 ) ) ) -> ( A x. C ) <_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685

This theorem is referenced by: (None)