Theorem lmcld 21107

Description: Any convergent sequence of points in a closed subset of a topological space converges to a point in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmff.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
lmff.3	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
lmff.4	|- ( ph -> M e. ZZ )
lmcls.5	|- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) P )
lmcls.7	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. S )
lmcld.8	|- ( ph -> S e. ( Clsd ` J ) )

Assertion

Ref	Expression
lmcld	|- ( ph -> P e. S )

Distinct variable groups:   k, F   k, J   k, M   P, k   S, k   ph, k   k, X   k, Z

Proof of Theorem lmcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmff.1	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		lmff.3	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
3		lmff.4	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		lmcls.5	. . 3 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) P )
5		lmcls.7	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. S )
6		lmcld.8	. . . . 5 |- ( ph -> S e. ( Clsd ` J ) )
7		eqid 2622	. . . . . 6 |- U. J = U. J
8	7	cldss 20833	. . . . 5 |- ( S e. ( Clsd ` J ) -> S C_ U. J )
9	6, 8	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> S C_ U. J )
10		toponuni 20719	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
11	2, 10	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> X = U. J )
12	9, 11	sseqtr4d 3642	. . 3 |- ( ph -> S C_ X )
13	1, 2, 3, 4, 5, 12	lmcls 21106	. 2 |- ( ph -> P e. ( ( cls ` J ) ` S ) )
14		cldcls 20846	. . 3 |- ( S e. ( Clsd ` J ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = S )
15	6, 14	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( ( cls ` J ) ` S ) = S )
16	13, 15	eleqtrd 2703	1 |- ( ph -> P e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687  TopOnctopon 20715   Clsdccld 20820   clsccl 20822   ~~> tclm 21030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688  df-top 20699  df-topon 20716  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-lm 21033

This theorem is referenced by:  1stckgen  21357  lmle  23099