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Theorem 1stckgen 21357
Description: A first-countable space is compactly generated. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
1stckgen |- ( J e. 1stc -> J e. ran 𝑘Gen )
Proof of Theorem 1stckgen
Dummy variables k f x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1stctop 21246 . 2 |- ( J e. 1stc -> J e. Top )
2 difss 3737 . . . . . . . . . 10 |- ( U. J \ x ) C_ U. J
3 eqid 2622 . . . . . . . . . . 11 |- U. J = U. J
431stcelcls 21264 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. 1stc /\ ( U. J \ x ) C_ U. J ) -> ( y e. ( ( cls ` J ) ` ( U. J \ x ) ) <-> E. f ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) )
52, 4mpan2 707 . . . . . . . . 9 |- ( J e. 1stc -> ( y e. ( ( cls ` J ) ` ( U. J \ x ) ) <-> E. f ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) )
65adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) -> ( y e. ( ( cls ` J ) ` ( U. J \ x ) ) <-> E. f ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) )
71adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) -> J e. Top )
87adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) -> J e. Top )
93toptopon 20722 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
108, 9sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
11 simprr 796 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) -> f ( ~~> t ` J ) y )
12 lmcl 21101 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) -> y e. U. J )
1310, 11, 12syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) -> y e. U. J )
14 nnuz 11723 . . . . . . . . . . . . 13 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
15 vex 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- f e. _V
1615rnex 7100 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ran f e. _V
17 snex 4908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { y } e. _V
1816, 17unex 6956 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ran f u. { y } ) e. _V
19 resttop 20964 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ ( ran f u. { y } ) e. _V ) -> ( J ↾t ( ran f u. { y } ) ) e. Top )
208, 18, 19sylancl 694 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) -> ( J ↾t ( ran f u. { y } ) ) e. Top )
21 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. ( J ↾t ( ran f u. { y } ) ) = U. ( J ↾t ( ran f u. { y } ) )
2221toptopon 20722 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J ↾t ( ran f u. { y } ) ) e. Top <-> ( J ↾t ( ran f u. { y } ) ) e. (TopOn ` U. ( J ↾t ( ran f u. { y } ) ) ) )
2320, 22sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) -> ( J ↾t ( ran f u. { y } ) ) e. (TopOn ` U. ( J ↾t ( ran f u. { y } ) ) ) )
24 1zzd 11408 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) -> 1 e. ZZ )
25 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( J ↾t ( ran f u. { y } ) ) = ( J ↾t ( ran f u. { y } ) )
2618a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) -> ( ran f u. { y } ) e. _V )
27 ssun2 3777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { y } C_ ( ran f u. { y } )
28 vex 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- y e. _V
2928snss 4316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ( ran f u. { y } ) <-> { y } C_ ( ran f u. { y } ) )
3027, 29mpbir 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. ( ran f u. { y } )
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) -> y e. ( ran f u. { y } ) )
32 ffn 6045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f : NN --> ( U. J \ x ) -> f Fn NN )
3332ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) -> f Fn NN )
34 dffn3 6054 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f Fn NN <-> f : NN --> ran f )
3533, 34sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) -> f : NN --> ran f )
36 ssun1 3776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ran f C_ ( ran f u. { y } )
37 fss 6056 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : NN --> ran f /\ ran f C_ ( ran f u. { y } ) ) -> f : NN --> ( ran f u. { y } ) )
3835, 36, 37sylancl 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) -> f : NN --> ( ran f u. { y } ) )
3925, 14, 26, 8, 31, 24, 38lmss 21102 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) -> ( f ( ~~> t ` J ) y <-> f ( ~~> t ` ( J ↾t ( ran f u. { y } ) ) ) y ) )
4011, 39mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) -> f ( ~~> t ` ( J ↾t ( ran f u. { y } ) ) ) y )
4138ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) /\ k e. NN ) -> ( f ` k ) e. ( ran f u. { y } ) )
42 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) -> f : NN --> ( U. J \ x ) )
4342ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) /\ k e. NN ) -> ( f ` k ) e. ( U. J \ x ) )
4443eldifbd 3587 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) /\ k e. NN ) -> -. ( f ` k ) e. x )
4541, 44eldifd 3585 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) /\ k e. NN ) -> ( f ` k ) e. ( ( ran f u. { y } ) \ x ) )
46 difin 3861 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ran f u. { y } ) \ ( ( ran f u. { y } ) i^i x ) ) = ( ( ran f u. { y } ) \ x )
47 frn 6053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f : NN --> ( U. J \ x ) -> ran f C_ ( U. J \ x ) )
4847ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) -> ran f C_ ( U. J \ x ) )
4948difss2d 3740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) -> ran f C_ U. J )
5013snssd 4340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) -> { y } C_ U. J )
5149, 50unssd 3789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) -> ( ran f u. { y } ) C_ U. J )
523restuni 20966 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. Top /\ ( ran f u. { y } ) C_ U. J ) -> ( ran f u. { y } ) = U. ( J ↾t ( ran f u. { y } ) ) )
538, 51, 52syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) -> ( ran f u. { y } ) = U. ( J ↾t ( ran f u. { y } ) ) )
5453difeq1d 3727 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) -> ( ( ran f u. { y } ) \ ( ( ran f u. { y } ) i^i x ) ) = ( U. ( J ↾t ( ran f u. { y } ) ) \ ( ( ran f u. { y } ) i^i x ) ) )
5546, 54syl5eqr 2670 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) -> ( ( ran f u. { y } ) \ x ) = ( U. ( J ↾t ( ran f u. { y } ) ) \ ( ( ran f u. { y } ) i^i x ) ) )
56 incom 3805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ran f u. { y } ) i^i x ) = ( x i^i ( ran f u. { y } ) )
57 simplr 792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) -> x e. (𝑘Gen ` J ) )
58 fss 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ ( U. J \ x ) C_ U. J ) -> f : NN --> U. J )
5942, 2, 58sylancl 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) -> f : NN --> U. J )
6010, 59, 111stckgenlem 21356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) -> ( J ↾t ( ran f u. { y } ) ) e. Comp )
61 kgeni 21340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. (𝑘Gen ` J ) /\ ( J ↾t ( ran f u. { y } ) ) e. Comp ) -> ( x i^i ( ran f u. { y } ) ) e. ( J ↾t ( ran f u. { y } ) ) )
6257, 60, 61syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) -> ( x i^i ( ran f u. { y } ) ) e. ( J ↾t ( ran f u. { y } ) ) )
6356, 62syl5eqel 2705 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) -> ( ( ran f u. { y } ) i^i x ) e. ( J ↾t ( ran f u. { y } ) ) )
6421opncld 20837 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J ↾t ( ran f u. { y } ) ) e. Top /\ ( ( ran f u. { y } ) i^i x ) e. ( J ↾t ( ran f u. { y } ) ) ) -> ( U. ( J ↾t ( ran f u. { y } ) ) \ ( ( ran f u. { y } ) i^i x ) ) e. ( Clsd ` ( J ↾t ( ran f u. { y } ) ) ) )
6520, 63, 64syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) -> ( U. ( J ↾t ( ran f u. { y } ) ) \ ( ( ran f u. { y } ) i^i x ) ) e. ( Clsd ` ( J ↾t ( ran f u. { y } ) ) ) )
6655, 65eqeltrd 2701 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) -> ( ( ran f u. { y } ) \ x ) e. ( Clsd ` ( J ↾t ( ran f u. { y } ) ) ) )
6714, 23, 24, 40, 45, 66lmcld 21107 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) -> y e. ( ( ran f u. { y } ) \ x ) )
6867eldifbd 3587 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) -> -. y e. x )
6913, 68eldifd 3585 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) ) -> y e. ( U. J \ x ) )
7069ex 450 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) -> ( ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) -> y e. ( U. J \ x ) ) )
7170exlimdv 1861 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) -> ( E. f ( f : NN --> ( U. J \ x ) /\ f ( ~~> t ` J ) y ) -> y e. ( U. J \ x ) ) )
726, 71sylbid 230 . . . . . . 7 |- ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) -> ( y e. ( ( cls ` J ) ` ( U. J \ x ) ) -> y e. ( U. J \ x ) ) )
7372ssrdv 3609 . . . . . 6 |- ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( U. J \ x ) ) C_ ( U. J \ x ) )
743iscld4 20869 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ ( U. J \ x ) C_ U. J ) -> ( ( U. J \ x ) e. ( Clsd ` J ) <-> ( ( cls ` J ) ` ( U. J \ x ) ) C_ ( U. J \ x ) ) )
757, 2, 74sylancl 694 . . . . . 6 |- ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) -> ( ( U. J \ x ) e. ( Clsd ` J ) <-> ( ( cls ` J ) ` ( U. J \ x ) ) C_ ( U. J \ x ) ) )
7673, 75mpbird 247 . . . . 5 |- ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) -> ( U. J \ x ) e. ( Clsd ` J ) )
77 elssuni 4467 . . . . . . . 8 |- ( x e. (𝑘Gen ` J ) -> x C_ U. (𝑘Gen ` J ) )
7877adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) -> x C_ U. (𝑘Gen ` J ) )
793kgenuni 21342 . . . . . . . 8 |- ( J e. Top -> U. J = U. (𝑘Gen ` J ) )
807, 79syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) -> U. J = U. (𝑘Gen ` J ) )
8178, 80sseqtr4d 3642 . . . . . 6 |- ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) -> x C_ U. J )
823isopn2 20836 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ x C_ U. J ) -> ( x e. J <-> ( U. J \ x ) e. ( Clsd ` J ) ) )
837, 81, 82syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) -> ( x e. J <-> ( U. J \ x ) e. ( Clsd ` J ) ) )
8476, 83mpbird 247 . . . 4 |- ( ( J e. 1stc /\ x e. (𝑘Gen ` J ) ) -> x e. J )
8584ex 450 . . 3 |- ( J e. 1stc -> ( x e. (𝑘Gen ` J ) -> x e. J ) )
8685ssrdv 3609 . 2 |- ( J e. 1stc -> (𝑘Gen ` J ) C_ J )
87 iskgen2 21351 . 2 |- ( J e. ran 𝑘Gen <-> ( J e. Top /\ (𝑘Gen ` J ) C_ J ) )
881, 86, 87sylanbrc 698 1 |- ( J e. 1stc -> J e. ran 𝑘Gen )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   NNcn 11020   ↾t crest 16081   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Clsdccld 20820   clsccl 20822   ~~> tclm 21030   Compccmp 21189   1stcc1stc 21240  𝑘Genckgen 21336
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-lm 21033  df-cmp 21190  df-1stc 21242  df-kgen 21337
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