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Theorem 1stckgenlem 21356
Description: The one-point compactification of NN is compact. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
1stckgen.1 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
1stckgen.2 |- ( ph -> F : NN --> X )
1stckgen.3 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) A )
Assertion
Ref Expression
1stckgenlem |- ( ph -> ( J ↾t ( ran F u. { A } ) ) e. Comp )
Proof of Theorem 1stckgenlem
Dummy variables j k n s u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 796 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) -> ( ran F u. { A } ) C_ U. u )
2 ssun2 3777 . . . . . . . . 9 |- { A } C_ ( ran F u. { A } )
3 1stckgen.1 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
4 1stckgen.3 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) A )
5 lmcl 21101 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F ( ~~> t ` J ) A ) -> A e. X )
63, 4, 5syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. X )
7 snssg 4327 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. X -> ( A e. ( ran F u. { A } ) <-> { A } C_ ( ran F u. { A } ) ) )
86, 7syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A e. ( ran F u. { A } ) <-> { A } C_ ( ran F u. { A } ) ) )
92, 8mpbiri 248 . . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. ( ran F u. { A } ) )
109adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) -> A e. ( ran F u. { A } ) )
111, 10sseldd 3604 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) -> A e. U. u )
12 eluni2 4440 . . . . . 6 |- ( A e. U. u <-> E. w e. u A e. w )
1311, 12sylib 208 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) -> E. w e. u A e. w )
14 nnuz 11723 . . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
15 simprr 796 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) -> A e. w )
16 1zzd 11408 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) -> 1 e. ZZ )
174ad2antrr 762 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) -> F ( ~~> t ` J ) A )
18 simplrl 800 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) -> u e. ~P J )
1918elpwid 4170 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) -> u C_ J )
20 simprl 794 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) -> w e. u )
2119, 20sseldd 3604 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) -> w e. J )
2214, 15, 16, 17, 21lmcvg 21066 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w )
23 imassrn 5477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( F " ( 1 ... j ) ) C_ ran F
24 ssun1 3776 . . . . . . . . . . . . 13 |- ran F C_ ( ran F u. { A } )
2523, 24sstri 3612 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F " ( 1 ... j ) ) C_ ( ran F u. { A } )
26 id 22 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ran F u. { A } ) C_ U. u -> ( ran F u. { A } ) C_ U. u )
2725, 26syl5ss 3614 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ran F u. { A } ) C_ U. u -> ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. u )
28 1stckgen.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> F : NN --> X )
29 frn 6053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( F : NN --> X -> ran F C_ X )
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ran F C_ X )
3123, 30syl5ss 3614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( F " ( 1 ... j ) ) C_ X )
32 resttopon 20965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ X ) -> ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. (TopOn ` ( F " ( 1 ... j ) ) ) )
333, 31, 32syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. (TopOn ` ( F " ( 1 ... j ) ) ) )
34 topontop 20718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. (TopOn ` ( F " ( 1 ... j ) ) ) -> ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. Top )
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. Top )
36 fzfid 12772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 1 ... j ) e. Fin )
37 ffun 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( F : NN --> X -> Fun F )
3828, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> Fun F )
39 elfznn 12370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n e. ( 1 ... j ) -> n e. NN )
4039ssriv 3607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 ... j ) C_ NN
41 fdm 6051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( F : NN --> X -> dom F = NN )
4228, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> dom F = NN )
4340, 42syl5sseqr 3654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( 1 ... j ) C_ dom F )
44 fores 6124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Fun F /\ ( 1 ... j ) C_ dom F ) -> ( F |` ( 1 ... j ) ) : ( 1 ... j ) -onto-> ( F " ( 1 ... j ) ) )
4538, 43, 44syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( F |` ( 1 ... j ) ) : ( 1 ... j ) -onto-> ( F " ( 1 ... j ) ) )
46 fofi 8252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 1 ... j ) e. Fin /\ ( F |` ( 1 ... j ) ) : ( 1 ... j ) -onto-> ( F " ( 1 ... j ) ) ) -> ( F " ( 1 ... j ) ) e. Fin )
4736, 45, 46syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( F " ( 1 ... j ) ) e. Fin )
48 pwfi 8261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F " ( 1 ... j ) ) e. Fin <-> ~P ( F " ( 1 ... j ) ) e. Fin )
4947, 48sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ~P ( F " ( 1 ... j ) ) e. Fin )
50 restsspw 16092 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) C_ ~P ( F " ( 1 ... j ) )
51 ssfi 8180 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ~P ( F " ( 1 ... j ) ) e. Fin /\ ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) C_ ~P ( F " ( 1 ... j ) ) ) -> ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. Fin )
5249, 50, 51sylancl 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. Fin )
5335, 52elind 3798 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. ( Top i^i Fin ) )
54 fincmp 21196 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. ( Top i^i Fin ) -> ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. Comp )
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. Comp )
56 topontop 20718 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
573, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> J e. Top )
58 toponuni 20719 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
593, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> X = U. J )
6031, 59sseqtrd 3641 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. J )
61 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. J = U. J
6261cmpsub 21203 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. J ) -> ( ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. Comp <-> A. u e. ~P J ( ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. u -> E. s e. ( ~P u i^i Fin ) ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) )
6357, 60, 62syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. Comp <-> A. u e. ~P J ( ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. u -> E. s e. ( ~P u i^i Fin ) ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) )
6455, 63mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. u e. ~P J ( ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. u -> E. s e. ( ~P u i^i Fin ) ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) )
6564r19.21bi 2932 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ~P J ) -> ( ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. u -> E. s e. ( ~P u i^i Fin ) ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) )
6627, 65syl5 34 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. ~P J ) -> ( ( ran F u. { A } ) C_ U. u -> E. s e. ( ~P u i^i Fin ) ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) )
6766impr 649 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) -> E. s e. ( ~P u i^i Fin ) ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s )
6867adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) -> E. s e. ( ~P u i^i Fin ) ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s )
69 inss1 3833 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ~P u i^i Fin ) C_ ~P u
70 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> s e. ( ~P u i^i Fin ) )
7169, 70sseldi 3601 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> s e. ~P u )
7271elpwid 4170 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> s C_ u )
73 simprll 802 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) -> w e. u )
7473adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> w e. u )
7574snssd 4340 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> { w } C_ u )
7672, 75unssd 3789 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> ( s u. { w } ) C_ u )
77 vex 3203 . . . . . . . . . . . 12 |- u e. _V
7877elpw2 4828 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( s u. { w } ) e. ~P u <-> ( s u. { w } ) C_ u )
7976, 78sylibr 224 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> ( s u. { w } ) e. ~P u )
80 inss2 3834 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P u i^i Fin ) C_ Fin
8180, 70sseldi 3601 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> s e. Fin )
82 snfi 8038 . . . . . . . . . . 11 |- { w } e. Fin
83 unfi 8227 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( s e. Fin /\ { w } e. Fin ) -> ( s u. { w } ) e. Fin )
8481, 82, 83sylancl 694 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> ( s u. { w } ) e. Fin )
8579, 84elind 3798 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> ( s u. { w } ) e. ( ~P u i^i Fin ) )
86 ffn 6045 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : NN --> X -> F Fn NN )
8728, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F Fn NN )
8887ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> F Fn NN )
89 simprrr 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w )
9089adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w )
91 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
9291eleq1d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) e. w <-> ( F ` n ) e. w ) )
9392rspccva 3308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` n ) e. w )
9490, 93sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` n ) e. w )
95 elun2 3781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` n ) e. w -> ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) )
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) )
9796adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) /\ n e. NN ) /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) )
98 elnnuz 11724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN <-> n e. ( ZZ>= ` 1 ) )
9998anbi1i 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) <-> ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) )
100 elfzuzb 12336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( 1 ... j ) <-> ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) )
10199, 100bitr4i 267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) <-> n e. ( 1 ... j ) )
102 simprr 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s )
103 funimass4 6247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Fun F /\ ( 1 ... j ) C_ dom F ) -> ( ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s <-> A. n e. ( 1 ... j ) ( F ` n ) e. U. s ) )
10438, 43, 103syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s <-> A. n e. ( 1 ... j ) ( F ` n ) e. U. s ) )
105104ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> ( ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s <-> A. n e. ( 1 ... j ) ( F ` n ) e. U. s ) )
106102, 105mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> A. n e. ( 1 ... j ) ( F ` n ) e. U. s )
107106r19.21bi 2932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( F ` n ) e. U. s )
108 elun1 3780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` n ) e. U. s -> ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) )
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) )
110101, 109sylan2b 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) /\ ( n e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) ) -> ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) )
111110anassrs 680 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) /\ n e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) )
112 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) -> j e. NN )
113112ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> j e. NN )
114 nnz 11399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> j e. ZZ )
115 nnz 11399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN -> n e. ZZ )
116 uztric 11709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( n e. ( ZZ>= ` j ) \/ j e. ( ZZ>= ` n ) ) )
117114, 115, 116syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. NN /\ n e. NN ) -> ( n e. ( ZZ>= ` j ) \/ j e. ( ZZ>= ` n ) ) )
118113, 117sylan 488 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) /\ n e. NN ) -> ( n e. ( ZZ>= ` j ) \/ j e. ( ZZ>= ` n ) ) )
11997, 111, 118mpjaodan 827 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) )
120119ralrimiva 2966 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> A. n e. NN ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) )
121 fnfvrnss 6390 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F Fn NN /\ A. n e. NN ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) ) -> ran F C_ ( U. s u. w ) )
12288, 120, 121syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> ran F C_ ( U. s u. w ) )
123 elun2 3781 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. w -> A e. ( U. s u. w ) )
124123ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) -> A e. ( U. s u. w ) )
125124ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> A e. ( U. s u. w ) )
126125snssd 4340 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> { A } C_ ( U. s u. w ) )
127122, 126unssd 3789 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> ( ran F u. { A } ) C_ ( U. s u. w ) )
128 uniun 4456 . . . . . . . . . . 11 |- U. ( s u. { w } ) = ( U. s u. U. { w } )
129 vex 3203 . . . . . . . . . . . . 13 |- w e. _V
130129unisn 4451 . . . . . . . . . . . 12 |- U. { w } = w
131130uneq2i 3764 . . . . . . . . . . 11 |- ( U. s u. U. { w } ) = ( U. s u. w )
132128, 131eqtri 2644 . . . . . . . . . 10 |- U. ( s u. { w } ) = ( U. s u. w )
133127, 132syl6sseqr 3652 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> ( ran F u. { A } ) C_ U. ( s u. { w } ) )
134 unieq 4444 . . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( s u. { w } ) -> U. v = U. ( s u. { w } ) )
135134sseq2d 3633 . . . . . . . . . 10 |- ( v = ( s u. { w } ) -> ( ( ran F u. { A } ) C_ U. v <-> ( ran F u. { A } ) C_ U. ( s u. { w } ) ) )
136135rspcev 3309 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( s u. { w } ) e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. ( s u. { w } ) ) -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v )
13785, 133, 136syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v )
13868, 137rexlimddv 3035 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v )
139138anassrs 680 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v )
14022, 139rexlimddv 3035 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v )
14113, 140rexlimddv 3035 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v )
142141expr 643 . . 3 |- ( ( ph /\ u e. ~P J ) -> ( ( ran F u. { A } ) C_ U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v ) )
143142ralrimiva 2966 . 2 |- ( ph -> A. u e. ~P J ( ( ran F u. { A } ) C_ U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v ) )
1446snssd 4340 . . . . 5 |- ( ph -> { A } C_ X )
14530, 144unssd 3789 . . . 4 |- ( ph -> ( ran F u. { A } ) C_ X )
146145, 59sseqtrd 3641 . . 3 |- ( ph -> ( ran F u. { A } ) C_ U. J )
14761cmpsub 21203 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. J ) -> ( ( J ↾t ( ran F u. { A } ) ) e. Comp <-> A. u e. ~P J ( ( ran F u. { A } ) C_ U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v ) ) )
14857, 146, 147syl2anc 693 . 2 |- ( ph -> ( ( J ↾t ( ran F u. { A } ) ) e. Comp <-> A. u e. ~P J ( ( ran F u. { A } ) C_ U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v ) ) )
149143, 148mpbird 247 1 |- ( ph -> ( J ↾t ( ran F u. { A } ) ) e. Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   1c1 9937   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   ↾t crest 16081   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   ~~> tclm 21030   Compccmp 21189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-lm 21033  df-cmp 21190
This theorem is referenced by:  1stckgen  21357
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