Theorem iscmet3lem2 23090

Description: Lemma for iscmet3 23091. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscmet3.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
iscmet3.2	|- J = ( MetOpen ` D )
iscmet3.3	|- ( ph -> M e. ZZ )
iscmet3.4	|- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
iscmet3.6	|- ( ph -> F : Z --> X )
iscmet3.9	|- ( ph -> A. k e. ZZ A. u e. ( S ` k ) A. v e. ( S ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
iscmet3.10	|- ( ph -> A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( F ` k ) e. ( S ` n ) )
iscmet3.7	|- ( ph -> G e. ( Fil ` X ) )
iscmet3.8	|- ( ph -> S : ZZ --> G )
iscmet3.5	|- ( ph -> F e. dom ( ~~> t ` J ) )

Assertion

Ref	Expression
iscmet3lem2	|- ( ph -> ( J fLim G ) =/= (/) )

Distinct variable groups:   k, n, u, v, D   k, G   k, F, n, u, v   k, X, n   k, J, n   S, k, n, u, v   k, Z, n   k, M, n   ph, k, n

Allowed substitution hints:   ph( v, u)   G( v, u, n)   J( v, u)   M( v, u)   X( v, u)   Z( v, u)

Proof of Theorem iscmet3lem2

Dummy variables j r x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscmet3.5	. . 3 |- ( ph -> F e. dom ( ~~> t ` J ) )
2		eldmg 5319	. . . 4 |- ( F e. dom ( ~~> t ` J ) -> ( F e. dom ( ~~> t ` J ) <-> E. x F ( ~~> t ` J ) x ) )
3	2	ibi 256	. . 3 |- ( F e. dom ( ~~> t ` J ) -> E. x F ( ~~> t ` J ) x )
4	1, 3	syl 17	. 2 |- ( ph -> E. x F ( ~~> t ` J ) x )
5		iscmet3.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
6		metxmet 22139	. . . . . . 7 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
8		iscmet3.2	. . . . . . 7 |- J = ( MetOpen ` D )
9	8	mopntopon 22244	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
11		lmcl 21101	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F ( ~~> t ` J ) x ) -> x e. X )
12	10, 11	sylan 488	. . . 4 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) -> x e. X )
13	7	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) -> D e. ( *Met ` X ) )
14	8	mopni2 22298	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. J /\ x e. y ) -> E. r e. RR+ ( x ( ball ` D ) r ) C_ y )
15	14	3expia 1267	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. J ) -> ( x e. y -> E. r e. RR+ ( x ( ball ` D ) r ) C_ y ) )
16	13, 15	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ y e. J ) -> ( x e. y -> E. r e. RR+ ( x ( ball ` D ) r ) C_ y ) )
17		iscmet3.7	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G e. ( Fil ` X ) )
18	17	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ y e. J ) /\ ( r e. RR+ /\ ( x ( ball ` D ) r ) C_ y ) ) -> G e. ( Fil ` X ) )
19		iscmet3.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ZZ )
20	19	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) -> M e. ZZ )
21		rphalfcl 11858	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r e. RR+ -> ( r / 2 ) e. RR+ )
22	21	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) -> ( r / 2 ) e. RR+ )
23		iscmet3.1	. . . . . . . . . . . 12 |- Z = ( ZZ>= ` M )
24	23	iscmet3lem3 23088	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ ( r / 2 ) e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < ( r / 2 ) )
25	20, 22, 24	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < ( r / 2 ) )
26	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) -> D e. ( *Met ` X ) )
27	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) -> x e. X )
28		blcntr 22218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ ( r / 2 ) e. RR+ ) -> x e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) )
29	26, 27, 22, 28	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) -> x e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) )
30		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) -> F ( ~~> t ` J ) x )
31	22	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) -> ( r / 2 ) e. RR* )
32	8	blopn 22305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ ( r / 2 ) e. RR* ) -> ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) e. J )
33	26, 27, 31, 32	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) -> ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) e. J )
34	23, 29, 20, 30, 33	lmcvg 21066	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) )
35	23	rexanuz2 14089	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < ( r / 2 ) /\ ( F ` k ) e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) ) <-> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < ( r / 2 ) /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) ) )
36	23	r19.2uz 14091	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < ( r / 2 ) /\ ( F ` k ) e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) ) -> E. k e. Z ( ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < ( r / 2 ) /\ ( F ` k ) e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) ) )
37	17	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < ( r / 2 ) /\ ( F ` k ) e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) ) ) ) -> G e. ( Fil ` X ) )
38		iscmet3.8	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> S : ZZ --> G )
39	38	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < ( r / 2 ) /\ ( F ` k ) e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) ) ) ) -> S : ZZ --> G )
40		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ZZ )
41	40, 23	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. Z -> k e. ZZ )
42	41	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < ( r / 2 ) /\ ( F ` k ) e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) ) ) ) -> k e. ZZ )
43		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S : ZZ --> G /\ k e. ZZ ) -> ( S ` k ) e. G )
44	39, 42, 43	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < ( r / 2 ) /\ ( F ` k ) e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) ) ) ) -> ( S ` k ) e. G )
45		rpxr 11840	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r e. RR+ -> r e. RR* )
46	45	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) -> r e. RR* )
47		blssm 22223	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ r e. RR* ) -> ( x ( ball ` D ) r ) C_ X )
48	26, 27, 46, 47	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) -> ( x ( ball ` D ) r ) C_ X )
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < ( r / 2 ) /\ ( F ` k ) e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) ) ) ) -> ( x ( ball ` D ) r ) C_ X )
50	41	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> k e. ZZ )
51		1rp 11836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 1 e. RR+
52		rphalfcl 11858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 1 e. RR+ -> ( 1 / 2 ) e. RR+ )
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 1 / 2 ) e. RR+
54		rpexpcl 12879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR+ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR+ )
55	53, 54	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. ZZ -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR+ )
56	50, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR+ )
57	56	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR )
58	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( r / 2 ) e. RR+ )
59	58	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( r / 2 ) e. RR )
60		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR /\ ( r / 2 ) e. RR ) -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < ( r / 2 ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) <_ ( r / 2 ) ) )
61	57, 59, 60	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < ( r / 2 ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) <_ ( r / 2 ) ) )
62		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) -> ph )
63		eluzfz2 12349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ( M ... k ) )
64	63, 23	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( k e. Z -> k e. ( M ... k ) )
65	64	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. ( M ... k ) )
66		iscmet3.10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( F ` k ) e. ( S ` n ) )
67	66	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A. n e. ( M ... k ) ( F ` k ) e. ( S ` n ) )
68		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( n = k -> ( S ` n ) = ( S ` k ) )
69	68	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( n = k -> ( ( F ` k ) e. ( S ` n ) <-> ( F ` k ) e. ( S ` k ) ) )
70	69	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( k e. ( M ... k ) -> ( A. n e. ( M ... k ) ( F ` k ) e. ( S ` n ) -> ( F ` k ) e. ( S ` k ) ) )
71	65, 67, 70	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. ( S ` k ) )
72	71	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ y e. ( S ` k ) ) -> ( F ` k ) e. ( S ` k ) )
73		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ y e. ( S ` k ) ) -> y e. ( S ` k ) )
74		iscmet3.9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> A. k e. ZZ A. u e. ( S ` k ) A. v e. ( S ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
75	74	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ y e. ( S ` k ) ) -> A. k e. ZZ A. u e. ( S ` k ) A. v e. ( S ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
76	41	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ y e. ( S ` k ) ) -> k e. ZZ )
77		rsp 2929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( A. k e. ZZ A. u e. ( S ` k ) A. v e. ( S ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) -> ( k e. ZZ -> A. u e. ( S ` k ) A. v e. ( S ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
78	75, 76, 77	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ y e. ( S ` k ) ) -> A. u e. ( S ` k ) A. v e. ( S ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
79		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( u = ( F ` k ) -> ( u D v ) = ( ( F ` k ) D v ) )
80	79	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( u = ( F ` k ) -> ( ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) <-> ( ( F ` k ) D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
81		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( v = y -> ( ( F ` k ) D v ) = ( ( F ` k ) D y ) )
82	81	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( v = y -> ( ( ( F ` k ) D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) <-> ( ( F ` k ) D y ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
83	80, 82	rspc2va 3323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( F ` k ) e. ( S ` k ) /\ y e. ( S ` k ) ) /\ A. u e. ( S ` k ) A. v e. ( S ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) -> ( ( F ` k ) D y ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
84	72, 73, 78, 83	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ y e. ( S ` k ) ) -> ( ( F ` k ) D y ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
85	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ y e. ( S ` k ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
86	41, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( k e. Z -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR+ )
87	86	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k e. Z -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR* )
88	87	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ y e. ( S ` k ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR* )
89		iscmet3.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> F : Z --> X )
90	89	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. X )
91	90	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ y e. ( S ` k ) ) -> ( F ` k ) e. X )
92	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> G e. ( Fil ` X ) )
93	38, 41, 43	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( S ` k ) e. G )
94		filelss 21656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( G e. ( Fil ` X ) /\ ( S ` k ) e. G ) -> ( S ` k ) C_ X )
95	92, 93, 94	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( S ` k ) C_ X )
96	95	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ y e. ( S ` k ) ) -> y e. X )
97		elbl2 22195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR* ) /\ ( ( F ` k ) e. X /\ y e. X ) ) -> ( y e. ( ( F ` k ) ( ball ` D ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) <-> ( ( F ` k ) D y ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
98	85, 88, 91, 96, 97	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ y e. ( S ` k ) ) -> ( y e. ( ( F ` k ) ( ball ` D ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) <-> ( ( F ` k ) D y ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
99	84, 98	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ y e. ( S ` k ) ) -> y e. ( ( F ` k ) ( ball ` D ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
100	99	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( y e. ( S ` k ) -> y e. ( ( F ` k ) ( ball ` D ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) ) )
101	100	ssrdv 3609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( S ` k ) C_ ( ( F ` k ) ( ball ` D ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
102	62, 101	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( S ` k ) C_ ( ( F ` k ) ( ball ` D ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
103	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> D e. ( *Met ` X ) )
104	89	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) -> F : Z --> X )
105	104	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. X )
106	56	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR* )
107	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( r / 2 ) e. RR* )
108		ssbl 22228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( F ` k ) e. X ) /\ ( ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR* /\ ( r / 2 ) e. RR* ) /\ ( ( 1 / 2 ) ^ k ) <_ ( r / 2 ) ) -> ( ( F ` k ) ( ball ` D ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) C_ ( ( F ` k ) ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) )
109	108	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( F ` k ) e. X ) /\ ( ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR* /\ ( r / 2 ) e. RR* ) ) -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ k ) <_ ( r / 2 ) -> ( ( F ` k ) ( ball ` D ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) C_ ( ( F ` k ) ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) ) )
110	103, 105, 106, 107, 109	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ k ) <_ ( r / 2 ) -> ( ( F ` k ) ( ball ` D ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) C_ ( ( F ` k ) ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) ) )
111		sstr 3611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( S ` k ) C_ ( ( F ` k ) ( ball ` D ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) /\ ( ( F ` k ) ( ball ` D ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) C_ ( ( F ` k ) ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) ) -> ( S ` k ) C_ ( ( F ` k ) ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) )
112	102, 110, 111	syl6an 568	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ k ) <_ ( r / 2 ) -> ( S ` k ) C_ ( ( F ` k ) ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) ) )
113	61, 112	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < ( r / 2 ) -> ( S ` k ) C_ ( ( F ` k ) ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) ) )
114	113	adantrd 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < ( r / 2 ) /\ ( F ` k ) e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) ) -> ( S ` k ) C_ ( ( F ` k ) ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) ) )
115	114	impr 649	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < ( r / 2 ) /\ ( F ` k ) e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) ) ) ) -> ( S ` k ) C_ ( ( F ` k ) ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) )
116	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> x e. X )
117		blcom 22199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( r / 2 ) e. RR* ) /\ ( x e. X /\ ( F ` k ) e. X ) ) -> ( ( F ` k ) e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) <-> x e. ( ( F ` k ) ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) ) )
118	103, 107, 116, 105, 117	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( ( F ` k ) e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) <-> x e. ( ( F ` k ) ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) ) )
119		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( r e. RR+ -> r e. RR )
120	119	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> r e. RR )
121		blhalf 22210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( F ` k ) e. X ) /\ ( r e. RR /\ x e. ( ( F ` k ) ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) )
122	121	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( F ` k ) e. X ) /\ r e. RR ) -> ( x e. ( ( F ` k ) ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) -> ( ( F ` k ) ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) )
123	103, 105, 120, 122	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( x e. ( ( F ` k ) ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) -> ( ( F ` k ) ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) )
124	118, 123	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( ( F ` k ) e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) -> ( ( F ` k ) ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) )
125	124	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < ( r / 2 ) /\ ( F ` k ) e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) ) -> ( ( F ` k ) ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) )
126	125	impr 649	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < ( r / 2 ) /\ ( F ` k ) e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) )
127	115, 126	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < ( r / 2 ) /\ ( F ` k ) e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) ) ) ) -> ( S ` k ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) )
128		filss 21657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. ( Fil ` X ) /\ ( ( S ` k ) e. G /\ ( x ( ball ` D ) r ) C_ X /\ ( S ` k ) C_ ( x ( ball ` D ) r ) ) ) -> ( x ( ball ` D ) r ) e. G )
129	37, 44, 49, 127, 128	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ ( ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < ( r / 2 ) /\ ( F ` k ) e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) ) ) ) -> ( x ( ball ` D ) r ) e. G )
130	129	rexlimdvaa 3032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) -> ( E. k e. Z ( ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < ( r / 2 ) /\ ( F ` k ) e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) ) -> ( x ( ball ` D ) r ) e. G ) )
131	36, 130	syl5 34	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < ( r / 2 ) /\ ( F ` k ) e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) ) -> ( x ( ball ` D ) r ) e. G ) )
132	35, 131	syl5bir 233	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) -> ( ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < ( r / 2 ) /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. ( x ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) ) -> ( x ( ball ` D ) r ) e. G ) )
133	25, 34, 132	mp2and 715	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ r e. RR+ ) -> ( x ( ball ` D ) r ) e. G )
134	133	ad2ant2r 783	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ y e. J ) /\ ( r e. RR+ /\ ( x ( ball ` D ) r ) C_ y ) ) -> ( x ( ball ` D ) r ) e. G )
135	10	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) -> J e. (TopOn ` X ) )
136		toponss 20731	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. J ) -> y C_ X )
137	135, 136	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ y e. J ) -> y C_ X )
138	137	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ y e. J ) /\ ( r e. RR+ /\ ( x ( ball ` D ) r ) C_ y ) ) -> y C_ X )
139		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ y e. J ) /\ ( r e. RR+ /\ ( x ( ball ` D ) r ) C_ y ) ) -> ( x ( ball ` D ) r ) C_ y )
140		filss 21657	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. ( Fil ` X ) /\ ( ( x ( ball ` D ) r ) e. G /\ y C_ X /\ ( x ( ball ` D ) r ) C_ y ) ) -> y e. G )
141	18, 134, 138, 139, 140	syl13anc 1328	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ y e. J ) /\ ( r e. RR+ /\ ( x ( ball ` D ) r ) C_ y ) ) -> y e. G )
142	141	rexlimdvaa 3032	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ y e. J ) -> ( E. r e. RR+ ( x ( ball ` D ) r ) C_ y -> y e. G ) )
143	16, 142	syld 47	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) /\ y e. J ) -> ( x e. y -> y e. G ) )
144	143	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) -> A. y e. J ( x e. y -> y e. G ) )
145		flimopn 21779	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ G e. ( Fil ` X ) ) -> ( x e. ( J fLim G ) <-> ( x e. X /\ A. y e. J ( x e. y -> y e. G ) ) ) )
146	10, 17, 145	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( J fLim G ) <-> ( x e. X /\ A. y e. J ( x e. y -> y e. G ) ) ) )
147	146	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) -> ( x e. ( J fLim G ) <-> ( x e. X /\ A. y e. J ( x e. y -> y e. G ) ) ) )
148	12, 144, 147	mpbir2and 957	. . 3 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) -> x e. ( J fLim G ) )
149		ne0i 3921	. . 3 |- ( x e. ( J fLim G ) -> ( J fLim G ) =/= (/) )
150	148, 149	syl 17	. 2 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) x ) -> ( J fLim G ) =/= (/) )
151	4, 150	exlimddv 1863	1 |- ( ph -> ( J fLim G ) =/= (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   2c2 11070   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   ^cexp 12860   *Metcxmt 19731   Metcme 19732   ballcbl 19733   MetOpencmopn 19736  TopOnctopon 20715   ~~> tclm 21030   Filcfil 21649   fLim cflim 21738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-lm 21033  df-fil 21650  df-flim 21743

This theorem is referenced by:  iscmet3  23091