Theorem lspid 18982

Description: The span of a subspace is itself. (spanid 28206 analog.) (Contributed by NM, 15-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspid.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspid.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspid	|- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( N ` U ) = U )

Proof of Theorem lspid

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
2		lspid.s	. . . 4 |- S = ( LSubSp ` W )
3	1, 2	lssss 18937	. . 3 |- ( U e. S -> U C_ ( Base ` W ) )
4		lspid.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
5	1, 2, 4	lspval 18975	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ ( Base ` W ) ) -> ( N ` U ) = |^| { t e. S | U C_ t } )
6	3, 5	sylan2 491	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( N ` U ) = |^| { t e. S | U C_ t } )
7		intmin 4497	. . 3 |- ( U e. S -> |^| { t e. S | U C_ t } = U )
8	7	adantl 482	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> |^| { t e. S | U C_ t } = U )
9	6, 8	eqtrd 2656	1 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( N ` U ) = U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   C_ wss 3574   |^|cint 4475   ` cfv 5888   Basecbs 15857   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   LSpanclspn 18971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972

This theorem is referenced by:  lspidm  18986  lspssp  18988  lspsn0  19008  lspsolvlem  19142  lbsextlem3  19160  islshpsm  34267  lshpnel2N  34272  lssats  34299  lkrlsp3  34391  dochspocN  36669  dochsatshp  36740  filnm  37660