Theorem lspsolvlem 19142

Description: Lemma for lspsolv 19143. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsolv.v	|- V = ( Base ` W )
lspsolv.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspsolv.n	|- N = ( LSpan ` W )
lspsolv.f	|- F = (Scalar ` W )
lspsolv.b	|- B = ( Base ` F )
lspsolv.p	|- .+ = ( +g ` W )
lspsolv.t	|- .x. = ( .s ` W )
lspsolv.q	|- Q = { z e. V | E. r e. B ( z .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) }
lspsolv.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lspsolv.ss	|- ( ph -> A C_ V )
lspsolv.y	|- ( ph -> Y e. V )
lspsolv.x	|- ( ph -> X e. ( N ` ( A u. { Y } ) ) )

Assertion

Ref	Expression
lspsolvlem	|- ( ph -> E. r e. B ( X .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) )

Distinct variable groups:   z, r, A   B, r, z   N, r, z   ph, z   F, r   S, r   V, r, z   W, r, z   .+ , r, z   .x. , r, z   X, r, z   Y, r, z

Allowed substitution hints:   ph( r)   Q( z, r)   S( z)   F( z)

Proof of Theorem lspsolvlem

Dummy variables s t x y a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsolv.w	. . . . 5 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lspsolv.q	. . . . . . 7 |- Q = { z e. V | E. r e. B ( z .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) }
3		ssrab2 3687	. . . . . . 7 |- { z e. V | E. r e. B ( z .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) } C_ V
4	2, 3	eqsstri 3635	. . . . . 6 |- Q C_ V
5	4	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> Q C_ V )
6		lspsolv.ss	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ V )
7	1	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> W e. LMod )
8		lspsolv.f	. . . . . . . . . . 11 |- F = (Scalar ` W )
9		lspsolv.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( Base ` F )
10		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` F ) = ( 0g ` F )
11	8, 9, 10	lmod0cl 18889	. . . . . . . . . 10 |- ( W e. LMod -> ( 0g ` F ) e. B )
12	7, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( 0g ` F ) e. B )
13		lspsolv.y	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> Y e. V )
14		lspsolv.v	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- V = ( Base ` W )
15		lspsolv.t	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- .x. = ( .s ` W )
16		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
17	14, 8, 15, 10, 16	lmod0vs 18896	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V ) -> ( ( 0g ` F ) .x. Y ) = ( 0g ` W ) )
18	1, 13, 17	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 0g ` F ) .x. Y ) = ( 0g ` W ) )
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( ( 0g ` F ) .x. Y ) = ( 0g ` W ) )
20	19	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( z .+ ( ( 0g ` F ) .x. Y ) ) = ( z .+ ( 0g ` W ) ) )
21	6	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> z e. V )
22		lspsolv.p	. . . . . . . . . . . . 13 |- .+ = ( +g ` W )
23	14, 22, 16	lmod0vrid 18894	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. LMod /\ z e. V ) -> ( z .+ ( 0g ` W ) ) = z )
24	7, 21, 23	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( z .+ ( 0g ` W ) ) = z )
25	20, 24	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( z .+ ( ( 0g ` F ) .x. Y ) ) = z )
26		lspsolv.n	. . . . . . . . . . . . 13 |- N = ( LSpan ` W )
27	14, 26	lspssid 18985	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ V ) -> A C_ ( N ` A ) )
28	1, 6, 27	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ ( N ` A ) )
29	28	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> z e. ( N ` A ) )
30	25, 29	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( z .+ ( ( 0g ` F ) .x. Y ) ) e. ( N ` A ) )
31		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = ( 0g ` F ) -> ( r .x. Y ) = ( ( 0g ` F ) .x. Y ) )
32	31	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = ( 0g ` F ) -> ( z .+ ( r .x. Y ) ) = ( z .+ ( ( 0g ` F ) .x. Y ) ) )
33	32	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( r = ( 0g ` F ) -> ( ( z .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) <-> ( z .+ ( ( 0g ` F ) .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) )
34	33	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0g ` F ) e. B /\ ( z .+ ( ( 0g ` F ) .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) -> E. r e. B ( z .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) )
35	12, 30, 34	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> E. r e. B ( z .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) )
36	6, 35	ssrabdv 3681	. . . . . . 7 |- ( ph -> A C_ { z e. V | E. r e. B ( z .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) } )
37	36, 2	syl6sseqr 3652	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ Q )
38	8	lmodfgrp 18872	. . . . . . . . . . 11 |- ( W e. LMod -> F e. Grp )
39	1, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. Grp )
40		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
41	8, 9, 40	lmod1cl 18890	. . . . . . . . . . 11 |- ( W e. LMod -> ( 1r ` F ) e. B )
42	1, 41	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1r ` F ) e. B )
43		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( invg ` F ) = ( invg ` F )
44	9, 43	grpinvcl 17467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. Grp /\ ( 1r ` F ) e. B ) -> ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. B )
45	39, 42, 44	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. B )
46		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( invg ` W ) = ( invg ` W )
47	14, 46, 8, 15, 40, 43	lmodvneg1 18906	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V ) -> ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) = ( ( invg ` W ) ` Y ) )
48	1, 13, 47	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) = ( ( invg ` W ) ` Y ) )
49	48	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Y .+ ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) = ( Y .+ ( ( invg ` W ) ` Y ) ) )
50		lmodgrp 18870	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
51	1, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> W e. Grp )
52	14, 22, 16, 46	grprinv 17469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. Grp /\ Y e. V ) -> ( Y .+ ( ( invg ` W ) ` Y ) ) = ( 0g ` W ) )
53	51, 13, 52	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Y .+ ( ( invg ` W ) ` Y ) ) = ( 0g ` W ) )
54	49, 53	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Y .+ ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) = ( 0g ` W ) )
55		lspsolv.s	. . . . . . . . . . . . 13 |- S = ( LSubSp ` W )
56	14, 55, 26	lspcl 18976	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. LMod /\ A C_ V ) -> ( N ` A ) e. S )
57	1, 6, 56	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N ` A ) e. S )
58	16, 55	lss0cl 18947	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. LMod /\ ( N ` A ) e. S ) -> ( 0g ` W ) e. ( N ` A ) )
59	1, 57, 58	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0g ` W ) e. ( N ` A ) )
60	54, 59	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Y .+ ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) e. ( N ` A ) )
61		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) -> ( r .x. Y ) = ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) )
62	61	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) -> ( Y .+ ( r .x. Y ) ) = ( Y .+ ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) )
63	62	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( r = ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) -> ( ( Y .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) <-> ( Y .+ ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) )
64	63	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. B /\ ( Y .+ ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) -> E. r e. B ( Y .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) )
65	45, 60, 64	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E. r e. B ( Y .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) )
66		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = Y -> ( z .+ ( r .x. Y ) ) = ( Y .+ ( r .x. Y ) ) )
67	66	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( z = Y -> ( ( z .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) <-> ( Y .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) )
68	67	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( z = Y -> ( E. r e. B ( z .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) <-> E. r e. B ( Y .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) )
69	68, 2	elrab2 3366	. . . . . . . 8 |- ( Y e. Q <-> ( Y e. V /\ E. r e. B ( Y .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) )
70	13, 65, 69	sylanbrc 698	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. Q )
71	70	snssd 4340	. . . . . 6 |- ( ph -> { Y } C_ Q )
72	37, 71	unssd 3789	. . . . 5 |- ( ph -> ( A u. { Y } ) C_ Q )
73	14, 26	lspss 18984	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ Q C_ V /\ ( A u. { Y } ) C_ Q ) -> ( N ` ( A u. { Y } ) ) C_ ( N ` Q ) )
74	1, 5, 72, 73	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> ( N ` ( A u. { Y } ) ) C_ ( N ` Q ) )
75	8	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> F = (Scalar ` W ) )
76	9	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> B = ( Base ` F ) )
77	14	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> V = ( Base ` W ) )
78	22	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> .+ = ( +g ` W ) )
79	15	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> .x. = ( .s ` W ) )
80	55	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> S = ( LSubSp ` W ) )
81		ne0i 3921	. . . . . . 7 |- ( Y e. Q -> Q =/= (/) )
82	70, 81	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> Q =/= (/) )
83		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> ( z .+ ( r .x. Y ) ) = ( x .+ ( r .x. Y ) ) )
84	83	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> ( ( z .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) <-> ( x .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) )
85	84	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( E. r e. B ( z .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) <-> E. r e. B ( x .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) )
86		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r = s -> ( r .x. Y ) = ( s .x. Y ) )
87	86	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r = s -> ( x .+ ( r .x. Y ) ) = ( x .+ ( s .x. Y ) ) )
88	87	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r = s -> ( ( x .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) <-> ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) )
89	88	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. r e. B ( x .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) <-> E. s e. B ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) )
90	85, 89	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( E. r e. B ( z .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) <-> E. s e. B ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) )
91	90, 2	elrab2 3366	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. Q <-> ( x e. V /\ E. s e. B ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) )
92		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = y -> ( z .+ ( r .x. Y ) ) = ( y .+ ( r .x. Y ) ) )
93	92	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = y -> ( ( z .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) <-> ( y .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) )
94	93	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = y -> ( E. r e. B ( z .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) <-> E. r e. B ( y .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) )
95		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r = t -> ( r .x. Y ) = ( t .x. Y ) )
96	95	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r = t -> ( y .+ ( r .x. Y ) ) = ( y .+ ( t .x. Y ) ) )
97	96	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r = t -> ( ( y .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) <-> ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) )
98	97	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. r e. B ( y .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) <-> E. t e. B ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) )
99	94, 98	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = y -> ( E. r e. B ( z .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) <-> E. t e. B ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) )
100	99, 2	elrab2 3366	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. Q <-> ( y e. V /\ E. t e. B ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) )
101	91, 100	anbi12i 733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. Q /\ y e. Q ) <-> ( ( x e. V /\ E. s e. B ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) /\ ( y e. V /\ E. t e. B ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) )
102		an4 865	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. V /\ E. s e. B ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) /\ ( y e. V /\ E. t e. B ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) <-> ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( E. s e. B ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ E. t e. B ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) )
103	101, 102	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. Q /\ y e. Q ) <-> ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( E. s e. B ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ E. t e. B ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) )
104		reeanv 3107	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. s e. B E. t e. B ( ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) <-> ( E. s e. B ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ E. t e. B ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) )
105		simp1ll 1124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) /\ ( s e. B /\ t e. B ) /\ ( ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ph )
106	105, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) /\ ( s e. B /\ t e. B ) /\ ( ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> W e. LMod )
107		simp1lr 1125	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) /\ ( s e. B /\ t e. B ) /\ ( ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> a e. B )
108		simp1rl 1126	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) /\ ( s e. B /\ t e. B ) /\ ( ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> x e. V )
109	14, 8, 15, 9	lmodvscl 18880	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( W e. LMod /\ a e. B /\ x e. V ) -> ( a .x. x ) e. V )
110	106, 107, 108, 109	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) /\ ( s e. B /\ t e. B ) /\ ( ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( a .x. x ) e. V )
111		simp1rr 1127	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) /\ ( s e. B /\ t e. B ) /\ ( ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> y e. V )
112	14, 22	lmodvacl 18877	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( W e. LMod /\ ( a .x. x ) e. V /\ y e. V ) -> ( ( a .x. x ) .+ y ) e. V )
113	106, 110, 111, 112	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) /\ ( s e. B /\ t e. B ) /\ ( ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( a .x. x ) .+ y ) e. V )
114		simp2l 1087	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) /\ ( s e. B /\ t e. B ) /\ ( ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> s e. B )
115		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
116	8, 9, 115	lmodmcl 18875	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( W e. LMod /\ a e. B /\ s e. B ) -> ( a ( .r ` F ) s ) e. B )
117	106, 107, 114, 116	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) /\ ( s e. B /\ t e. B ) /\ ( ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( a ( .r ` F ) s ) e. B )
118		simp2r 1088	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) /\ ( s e. B /\ t e. B ) /\ ( ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> t e. B )
119		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( +g ` F ) = ( +g ` F )
120	8, 9, 119	lmodacl 18874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( W e. LMod /\ ( a ( .r ` F ) s ) e. B /\ t e. B ) -> ( ( a ( .r ` F ) s ) ( +g ` F ) t ) e. B )
121	106, 117, 118, 120	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) /\ ( s e. B /\ t e. B ) /\ ( ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( a ( .r ` F ) s ) ( +g ` F ) t ) e. B )
122	105, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) /\ ( s e. B /\ t e. B ) /\ ( ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> Y e. V )
123	14, 8, 15, 9	lmodvscl 18880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( W e. LMod /\ s e. B /\ Y e. V ) -> ( s .x. Y ) e. V )
124	106, 114, 122, 123	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) /\ ( s e. B /\ t e. B ) /\ ( ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( s .x. Y ) e. V )
125	14, 8, 15, 9	lmodvscl 18880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( W e. LMod /\ a e. B /\ ( s .x. Y ) e. V ) -> ( a .x. ( s .x. Y ) ) e. V )
126	106, 107, 124, 125	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) /\ ( s e. B /\ t e. B ) /\ ( ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( a .x. ( s .x. Y ) ) e. V )
127	14, 8, 15, 9	lmodvscl 18880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( W e. LMod /\ t e. B /\ Y e. V ) -> ( t .x. Y ) e. V )
128	106, 118, 122, 127	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) /\ ( s e. B /\ t e. B ) /\ ( ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( t .x. Y ) e. V )
129	14, 22	lmod4 18913	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( a .x. x ) e. V /\ y e. V ) /\ ( ( a .x. ( s .x. Y ) ) e. V /\ ( t .x. Y ) e. V ) ) -> ( ( ( a .x. x ) .+ y ) .+ ( ( a .x. ( s .x. Y ) ) .+ ( t .x. Y ) ) ) = ( ( ( a .x. x ) .+ ( a .x. ( s .x. Y ) ) ) .+ ( y .+ ( t .x. Y ) ) ) )
130	106, 110, 111, 126, 128, 129	syl122anc 1335	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) /\ ( s e. B /\ t e. B ) /\ ( ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( ( a .x. x ) .+ y ) .+ ( ( a .x. ( s .x. Y ) ) .+ ( t .x. Y ) ) ) = ( ( ( a .x. x ) .+ ( a .x. ( s .x. Y ) ) ) .+ ( y .+ ( t .x. Y ) ) ) )
131	14, 22, 8, 15, 9, 119	lmodvsdir 18887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( a ( .r ` F ) s ) e. B /\ t e. B /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( a ( .r ` F ) s ) ( +g ` F ) t ) .x. Y ) = ( ( ( a ( .r ` F ) s ) .x. Y ) .+ ( t .x. Y ) ) )
132	106, 117, 118, 122, 131	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) /\ ( s e. B /\ t e. B ) /\ ( ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( ( a ( .r ` F ) s ) ( +g ` F ) t ) .x. Y ) = ( ( ( a ( .r ` F ) s ) .x. Y ) .+ ( t .x. Y ) ) )
133	14, 8, 15, 9, 115	lmodvsass 18888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( W e. LMod /\ ( a e. B /\ s e. B /\ Y e. V ) ) -> ( ( a ( .r ` F ) s ) .x. Y ) = ( a .x. ( s .x. Y ) ) )
134	106, 107, 114, 122, 133	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) /\ ( s e. B /\ t e. B ) /\ ( ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( a ( .r ` F ) s ) .x. Y ) = ( a .x. ( s .x. Y ) ) )
135	134	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) /\ ( s e. B /\ t e. B ) /\ ( ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( ( a ( .r ` F ) s ) .x. Y ) .+ ( t .x. Y ) ) = ( ( a .x. ( s .x. Y ) ) .+ ( t .x. Y ) ) )
136	132, 135	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) /\ ( s e. B /\ t e. B ) /\ ( ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( ( a ( .r ` F ) s ) ( +g ` F ) t ) .x. Y ) = ( ( a .x. ( s .x. Y ) ) .+ ( t .x. Y ) ) )
137	136	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) /\ ( s e. B /\ t e. B ) /\ ( ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( ( a .x. x ) .+ y ) .+ ( ( ( a ( .r ` F ) s ) ( +g ` F ) t ) .x. Y ) ) = ( ( ( a .x. x ) .+ y ) .+ ( ( a .x. ( s .x. Y ) ) .+ ( t .x. Y ) ) ) )
138	14, 22, 8, 15, 9	lmodvsdi 18886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( W e. LMod /\ ( a e. B /\ x e. V /\ ( s .x. Y ) e. V ) ) -> ( a .x. ( x .+ ( s .x. Y ) ) ) = ( ( a .x. x ) .+ ( a .x. ( s .x. Y ) ) ) )
139	106, 107, 108, 124, 138	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) /\ ( s e. B /\ t e. B ) /\ ( ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( a .x. ( x .+ ( s .x. Y ) ) ) = ( ( a .x. x ) .+ ( a .x. ( s .x. Y ) ) ) )
140	139	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) /\ ( s e. B /\ t e. B ) /\ ( ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( a .x. ( x .+ ( s .x. Y ) ) ) .+ ( y .+ ( t .x. Y ) ) ) = ( ( ( a .x. x ) .+ ( a .x. ( s .x. Y ) ) ) .+ ( y .+ ( t .x. Y ) ) ) )
141	130, 137, 140	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) /\ ( s e. B /\ t e. B ) /\ ( ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( ( a .x. x ) .+ y ) .+ ( ( ( a ( .r ` F ) s ) ( +g ` F ) t ) .x. Y ) ) = ( ( a .x. ( x .+ ( s .x. Y ) ) ) .+ ( y .+ ( t .x. Y ) ) ) )
142	105, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) /\ ( s e. B /\ t e. B ) /\ ( ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( N ` A ) e. S )
143		simp3l 1089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) /\ ( s e. B /\ t e. B ) /\ ( ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) )
144		simp3r 1090	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) /\ ( s e. B /\ t e. B ) /\ ( ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) )
145	8, 9, 22, 15, 55	lsscl 18943	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N ` A ) e. S /\ ( a e. B /\ ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( a .x. ( x .+ ( s .x. Y ) ) ) .+ ( y .+ ( t .x. Y ) ) ) e. ( N ` A ) )
146	142, 107, 143, 144, 145	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) /\ ( s e. B /\ t e. B ) /\ ( ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( a .x. ( x .+ ( s .x. Y ) ) ) .+ ( y .+ ( t .x. Y ) ) ) e. ( N ` A ) )
147	141, 146	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) /\ ( s e. B /\ t e. B ) /\ ( ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( ( a .x. x ) .+ y ) .+ ( ( ( a ( .r ` F ) s ) ( +g ` F ) t ) .x. Y ) ) e. ( N ` A ) )
148		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( r = ( ( a ( .r ` F ) s ) ( +g ` F ) t ) -> ( r .x. Y ) = ( ( ( a ( .r ` F ) s ) ( +g ` F ) t ) .x. Y ) )
149	148	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r = ( ( a ( .r ` F ) s ) ( +g ` F ) t ) -> ( ( ( a .x. x ) .+ y ) .+ ( r .x. Y ) ) = ( ( ( a .x. x ) .+ y ) .+ ( ( ( a ( .r ` F ) s ) ( +g ` F ) t ) .x. Y ) ) )
150	149	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r = ( ( a ( .r ` F ) s ) ( +g ` F ) t ) -> ( ( ( ( a .x. x ) .+ y ) .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) <-> ( ( ( a .x. x ) .+ y ) .+ ( ( ( a ( .r ` F ) s ) ( +g ` F ) t ) .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) )
151	150	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( a ( .r ` F ) s ) ( +g ` F ) t ) e. B /\ ( ( ( a .x. x ) .+ y ) .+ ( ( ( a ( .r ` F ) s ) ( +g ` F ) t ) .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) -> E. r e. B ( ( ( a .x. x ) .+ y ) .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) )
152	121, 147, 151	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) /\ ( s e. B /\ t e. B ) /\ ( ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> E. r e. B ( ( ( a .x. x ) .+ y ) .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) )
153		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( ( a .x. x ) .+ y ) -> ( z .+ ( r .x. Y ) ) = ( ( ( a .x. x ) .+ y ) .+ ( r .x. Y ) ) )
154	153	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( ( a .x. x ) .+ y ) -> ( ( z .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) <-> ( ( ( a .x. x ) .+ y ) .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) )
155	154	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( ( a .x. x ) .+ y ) -> ( E. r e. B ( z .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) <-> E. r e. B ( ( ( a .x. x ) .+ y ) .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) )
156	155, 2	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( a .x. x ) .+ y ) e. Q <-> ( ( ( a .x. x ) .+ y ) e. V /\ E. r e. B ( ( ( a .x. x ) .+ y ) .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) )
157	113, 152, 156	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) /\ ( s e. B /\ t e. B ) /\ ( ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( a .x. x ) .+ y ) e. Q )
158	157	3exp 1264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( ( s e. B /\ t e. B ) -> ( ( ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) -> ( ( a .x. x ) .+ y ) e. Q ) ) )
159	158	rexlimdvv 3037	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( E. s e. B E. t e. B ( ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) -> ( ( a .x. x ) .+ y ) e. Q ) )
160	104, 159	syl5bir 233	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( ( E. s e. B ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ E. t e. B ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) -> ( ( a .x. x ) .+ y ) e. Q ) )
161	160	expimpd 629	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( E. s e. B ( x .+ ( s .x. Y ) ) e. ( N ` A ) /\ E. t e. B ( y .+ ( t .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( a .x. x ) .+ y ) e. Q ) )
162	103, 161	syl5bi 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( ( x e. Q /\ y e. Q ) -> ( ( a .x. x ) .+ y ) e. Q ) )
163	162	exp4b 632	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( a e. B -> ( x e. Q -> ( y e. Q -> ( ( a .x. x ) .+ y ) e. Q ) ) ) )
164	163	3imp2 1282	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ x e. Q /\ y e. Q ) ) -> ( ( a .x. x ) .+ y ) e. Q )
165	75, 76, 77, 78, 79, 80, 5, 82, 164	islssd 18936	. . . . 5 |- ( ph -> Q e. S )
166	55, 26	lspid 18982	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ Q e. S ) -> ( N ` Q ) = Q )
167	1, 165, 166	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( N ` Q ) = Q )
168	74, 167	sseqtrd 3641	. . 3 |- ( ph -> ( N ` ( A u. { Y } ) ) C_ Q )
169		lspsolv.x	. . 3 |- ( ph -> X e. ( N ` ( A u. { Y } ) ) )
170	168, 169	sseldd 3604	. 2 |- ( ph -> X e. Q )
171		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( z = X -> ( z .+ ( r .x. Y ) ) = ( X .+ ( r .x. Y ) ) )
172	171	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( z = X -> ( ( z .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) <-> ( X .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) )
173	172	rexbidv 3052	. . . 4 |- ( z = X -> ( E. r e. B ( z .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) <-> E. r e. B ( X .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) )
174	173, 2	elrab2 3366	. . 3 |- ( X e. Q <-> ( X e. V /\ E. r e. B ( X .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) ) )
175	174	simprbi 480	. 2 |- ( X e. Q -> E. r e. B ( X .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) )
176	170, 175	syl 17	1 |- ( ph -> E. r e. B ( X .+ ( r .x. Y ) ) e. ( N ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   {crab 2916   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   1rcur 18501   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   LSpanclspn 18971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972

This theorem is referenced by:  lspsolv  19143