Theorem lbsextlem3 19160

Description: Lemma for lbsext 19163. A chain in S has an upper bound in S. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsext.v	|- V = ( Base ` W )
lbsext.j	|- J = (LBasis ` W )
lbsext.n	|- N = ( LSpan ` W )
lbsext.w	|- ( ph -> W e. LVec )
lbsext.c	|- ( ph -> C C_ V )
lbsext.x	|- ( ph -> A. x e. C -. x e. ( N ` ( C \ { x } ) ) )
lbsext.s	|- S = { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) }
lbsext.p	|- P = ( LSubSp ` W )
lbsext.a	|- ( ph -> A C_ S )
lbsext.z	|- ( ph -> A =/= (/) )
lbsext.r	|- ( ph -> [ C.] Or A )
lbsext.t	|- T = U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) )

Assertion

Ref	Expression
lbsextlem3	|- ( ph -> U. A e. S )

Distinct variable groups:   x, J   x, u, ph   u, S, x   x, z, C   z, u, N, x   u, V, x, z   u, W, x   u, A, x, z

Allowed substitution hints:   ph( z)   C( u)   P( x, z, u)   S( z)   T( x, z, u)   J( z, u)   W( z)

Proof of Theorem lbsextlem3

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbsext.a	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ S )
2		lbsext.s	. . . . . 6 |- S = { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) }
3		ssrab2 3687	. . . . . 6 |- { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) } C_ ~P V
4	2, 3	eqsstri 3635	. . . . 5 |- S C_ ~P V
5	1, 4	syl6ss 3615	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ~P V )
6		sspwuni 4611	. . . 4 |- ( A C_ ~P V <-> U. A C_ V )
7	5, 6	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> U. A C_ V )
8		lbsext.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
9		fvex 6201	. . . . 5 |- ( Base ` W ) e. _V
10	8, 9	eqeltri 2697	. . . 4 |- V e. _V
11	10	elpw2 4828	. . 3 |- ( U. A e. ~P V <-> U. A C_ V )
12	7, 11	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> U. A e. ~P V )
13		ssintub 4495	. . . . 5 |- C C_ |^| { z e. ~P V | C C_ z }
14		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) -> C C_ z )
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ~P V -> ( ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) -> C C_ z ) )
16	15	ss2rabi 3684	. . . . . . . 8 |- { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) } C_ { z e. ~P V | C C_ z }
17	2, 16	eqsstri 3635	. . . . . . 7 |- S C_ { z e. ~P V | C C_ z }
18	1, 17	syl6ss 3615	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ { z e. ~P V | C C_ z } )
19		intss 4498	. . . . . 6 |- ( A C_ { z e. ~P V | C C_ z } -> |^| { z e. ~P V | C C_ z } C_ |^| A )
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> |^| { z e. ~P V | C C_ z } C_ |^| A )
21	13, 20	syl5ss 3614	. . . 4 |- ( ph -> C C_ |^| A )
22		lbsext.z	. . . . 5 |- ( ph -> A =/= (/) )
23		intssuni 4499	. . . . 5 |- ( A =/= (/) -> |^| A C_ U. A )
24	22, 23	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> |^| A C_ U. A )
25	21, 24	sstrd 3613	. . 3 |- ( ph -> C C_ U. A )
26		eluni2 4440	. . . . 5 |- ( x e. U. A <-> E. y e. A x e. y )
27		simpll1 1100	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ph )
28		lbsext.w	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> W e. LVec )
29		lveclmod 19106	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> W e. LMod )
31	27, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> W e. LMod )
32	27, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> A C_ S )
33		lbsext.r	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> [ C.] Or A )
34	27, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> [ C.] Or A )
35		simpll2 1101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> y e. A )
36		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> u e. A )
37		sorpssun 6944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( [ C.] Or A /\ ( y e. A /\ u e. A ) ) -> ( y u. u ) e. A )
38	34, 35, 36, 37	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ( y u. u ) e. A )
39	32, 38	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ( y u. u ) e. S )
40	4, 39	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ( y u. u ) e. ~P V )
41	40	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ( y u. u ) C_ V )
42	41	ssdifssd 3748	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ( ( y u. u ) \ { x } ) C_ V )
43		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . 12 |- u C_ ( y u. u )
44		ssdif 3745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u C_ ( y u. u ) -> ( u \ { x } ) C_ ( ( y u. u ) \ { x } ) )
45	43, 44	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ( u \ { x } ) C_ ( ( y u. u ) \ { x } ) )
46		lbsext.n	. . . . . . . . . . . 12 |- N = ( LSpan ` W )
47	8, 46	lspss 18984	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( y u. u ) \ { x } ) C_ V /\ ( u \ { x } ) C_ ( ( y u. u ) \ { x } ) ) -> ( N ` ( u \ { x } ) ) C_ ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) )
48	31, 42, 45, 47	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> ( N ` ( u \ { x } ) ) C_ ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) )
49		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) )
50	48, 49	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) )
51		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( y u. u ) -> ( C C_ z <-> C C_ ( y u. u ) ) )
52		difeq1 3721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = ( y u. u ) -> ( z \ { x } ) = ( ( y u. u ) \ { x } ) )
53	52	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( y u. u ) -> ( N ` ( z \ { x } ) ) = ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) )
54	53	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( y u. u ) -> ( x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) ) )
55	54	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( y u. u ) -> ( -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) ) )
56	55	raleqbi1dv 3146	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( y u. u ) -> ( A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> A. x e. ( y u. u ) -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) ) )
57	51, 56	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( y u. u ) -> ( ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) <-> ( C C_ ( y u. u ) /\ A. x e. ( y u. u ) -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) ) ) )
58	57, 2	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y u. u ) e. S <-> ( ( y u. u ) e. ~P V /\ ( C C_ ( y u. u ) /\ A. x e. ( y u. u ) -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) ) ) )
59	58	simprbi 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y u. u ) e. S -> ( C C_ ( y u. u ) /\ A. x e. ( y u. u ) -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) ) )
60	59	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y u. u ) e. S -> A. x e. ( y u. u ) -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) )
61	39, 60	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> A. x e. ( y u. u ) -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) )
62		simpll3 1102	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> x e. y )
63		elun1 3780	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. y -> x e. ( y u. u ) )
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> x e. ( y u. u ) )
65		rsp 2929	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. ( y u. u ) -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) -> ( x e. ( y u. u ) -> -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) ) )
66	61, 64, 65	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) /\ x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) -> -. x e. ( N ` ( ( y u. u ) \ { x } ) ) )
67	50, 66	pm2.65da 600	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) /\ u e. A ) -> -. x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) )
68	67	nrexdv 3001	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) -> -. E. u e. A x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) )
69		lbsext.j	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- J = (LBasis ` W )
70		lbsext.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> C C_ V )
71		lbsext.x	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. x e. C -. x e. ( N ` ( C \ { x } ) ) )
72		lbsext.p	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- P = ( LSubSp ` W )
73		lbsext.t	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- T = U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) )
74	8, 69, 46, 28, 70, 71, 2, 72, 1, 22, 33, 73	lbsextlem2 19159	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( T e. P /\ ( U. A \ { x } ) C_ T ) )
75	74	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> T e. P )
76	8, 72	lssss 18937	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T e. P -> T C_ V )
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T C_ V )
78	74	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( U. A \ { x } ) C_ T )
79	8, 46	lspss 18984	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ ( U. A \ { x } ) C_ T ) -> ( N ` ( U. A \ { x } ) ) C_ ( N ` T ) )
80	30, 77, 78, 79	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N ` ( U. A \ { x } ) ) C_ ( N ` T ) )
81	72, 46	lspid 18982	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. LMod /\ T e. P ) -> ( N ` T ) = T )
82	30, 75, 81	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N ` T ) = T )
83	80, 82	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N ` ( U. A \ { x } ) ) C_ T )
84	83	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) -> ( N ` ( U. A \ { x } ) ) C_ T )
85	84, 73	syl6sseq 3651	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) -> ( N ` ( U. A \ { x } ) ) C_ U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) )
86	85	sseld 3602	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) -> ( x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) -> x e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) ) )
87		eliun 4524	. . . . . . . 8 |- ( x e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) <-> E. u e. A x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) )
88	86, 87	syl6ib 241	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) -> ( x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) -> E. u e. A x e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) )
89	68, 88	mtod 189	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. A /\ x e. y ) -> -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) )
90	89	rexlimdv3a 3033	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. y e. A x e. y -> -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) )
91	26, 90	syl5bi 232	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. U. A -> -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) )
92	91	ralrimiv 2965	. . 3 |- ( ph -> A. x e. U. A -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) )
93	25, 92	jca 554	. 2 |- ( ph -> ( C C_ U. A /\ A. x e. U. A -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) )
94		sseq2 3627	. . . 4 |- ( z = U. A -> ( C C_ z <-> C C_ U. A ) )
95		difeq1 3721	. . . . . . . 8 |- ( z = U. A -> ( z \ { x } ) = ( U. A \ { x } ) )
96	95	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( z = U. A -> ( N ` ( z \ { x } ) ) = ( N ` ( U. A \ { x } ) ) )
97	96	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( z = U. A -> ( x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) )
98	97	notbid 308	. . . . 5 |- ( z = U. A -> ( -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) )
99	98	raleqbi1dv 3146	. . . 4 |- ( z = U. A -> ( A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) <-> A. x e. U. A -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) )
100	94, 99	anbi12d 747	. . 3 |- ( z = U. A -> ( ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) <-> ( C C_ U. A /\ A. x e. U. A -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) ) )
101	100, 2	elrab2 3366	. 2 |- ( U. A e. S <-> ( U. A e. ~P V /\ ( C C_ U. A /\ A. x e. U. A -. x e. ( N ` ( U. A \ { x } ) ) ) ) )
102	12, 93, 101	sylanbrc 698	1 |- ( ph -> U. A e. S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   |^|cint 4475   U_ciun 4520   Or wor 5034   ` cfv 5888   [ C.] crpss 6936   Basecbs 15857   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   LSpanclspn 18971  LBasisclbs 19074   LVecclvec 19102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-rpss 6937  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103

This theorem is referenced by:  lbsextlem4  19161