Theorem lssats 34299

Description: The lattice of subspaces is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Part of proof of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. Hypothesis (shatomistici 29220 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssats.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lssats.n	|- N = ( LSpan ` W )
lssats.a	|- A = (LSAtoms ` W )

Assertion

Ref	Expression
lssats	|- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U = ( N ` U. { x e. A | x C_ U } ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, N   x, S   x, U

Allowed substitution hint:   W( x)

Proof of Theorem lssats

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2689	. . . . 5 |- ( y = ( 0g ` W ) -> ( y e. ( N ` U. { x e. A | x C_ U } ) <-> ( 0g ` W ) e. ( N ` U. { x e. A | x C_ U } ) ) )
2		simplll 798	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ y e. U ) /\ y =/= ( 0g ` W ) ) -> W e. LMod )
3		simpllr 799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ y e. U ) /\ y =/= ( 0g ` W ) ) -> U e. S )
4		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ y e. U ) /\ y =/= ( 0g ` W ) ) -> y e. U )
5		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
6		lssats.s	. . . . . . . . . . 11 |- S = ( LSubSp ` W )
7	5, 6	lssel 18938	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. S /\ y e. U ) -> y e. ( Base ` W ) )
8	3, 4, 7	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ y e. U ) /\ y =/= ( 0g ` W ) ) -> y e. ( Base ` W ) )
9		lssats.n	. . . . . . . . . 10 |- N = ( LSpan ` W )
10	5, 6, 9	lspsncl 18977	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ y e. ( Base ` W ) ) -> ( N ` { y } ) e. S )
11	2, 8, 10	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ y e. U ) /\ y =/= ( 0g ` W ) ) -> ( N ` { y } ) e. S )
12	6, 9	lspid 18982	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ ( N ` { y } ) e. S ) -> ( N ` ( N ` { y } ) ) = ( N ` { y } ) )
13	2, 11, 12	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ y e. U ) /\ y =/= ( 0g ` W ) ) -> ( N ` ( N ` { y } ) ) = ( N ` { y } ) )
14		lssats.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- A = (LSAtoms ` W )
15	6, 14	lsatlss 34283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( W e. LMod -> A C_ S )
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> A C_ S )
17		rabss2 3685	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ S -> { x e. A | x C_ U } C_ { x e. S | x C_ U } )
18		uniss 4458	. . . . . . . . . . 11 |- ( { x e. A | x C_ U } C_ { x e. S | x C_ U } -> U. { x e. A | x C_ U } C_ U. { x e. S | x C_ U } )
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U. { x e. A | x C_ U } C_ U. { x e. S | x C_ U } )
20		unimax 4473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U e. S -> U. { x e. S | x C_ U } = U )
21	5, 6	lssss 18937	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U e. S -> U C_ ( Base ` W ) )
22	20, 21	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. S -> U. { x e. S | x C_ U } C_ ( Base ` W ) )
23	22	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U. { x e. S | x C_ U } C_ ( Base ` W ) )
24	19, 23	sstrd 3613	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U. { x e. A | x C_ U } C_ ( Base ` W ) )
25	24	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ y e. U ) /\ y =/= ( 0g ` W ) ) -> U. { x e. A | x C_ U } C_ ( Base ` W ) )
26		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ y e. U ) /\ y =/= ( 0g ` W ) ) -> y =/= ( 0g ` W ) )
27		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
28	5, 9, 27, 14	lsatlspsn2 34279	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. LMod /\ y e. ( Base ` W ) /\ y =/= ( 0g ` W ) ) -> ( N ` { y } ) e. A )
29	2, 8, 26, 28	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ y e. U ) /\ y =/= ( 0g ` W ) ) -> ( N ` { y } ) e. A )
30	6, 9, 2, 3, 4	lspsnel5a 18996	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ y e. U ) /\ y =/= ( 0g ` W ) ) -> ( N ` { y } ) C_ U )
31		sseq1 3626	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( N ` { y } ) -> ( x C_ U <-> ( N ` { y } ) C_ U ) )
32	31	elrab 3363	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N ` { y } ) e. { x e. A | x C_ U } <-> ( ( N ` { y } ) e. A /\ ( N ` { y } ) C_ U ) )
33	29, 30, 32	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ y e. U ) /\ y =/= ( 0g ` W ) ) -> ( N ` { y } ) e. { x e. A | x C_ U } )
34		elssuni 4467	. . . . . . . . 9 |- ( ( N ` { y } ) e. { x e. A | x C_ U } -> ( N ` { y } ) C_ U. { x e. A | x C_ U } )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ y e. U ) /\ y =/= ( 0g ` W ) ) -> ( N ` { y } ) C_ U. { x e. A | x C_ U } )
36	5, 9	lspss 18984	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ U. { x e. A | x C_ U } C_ ( Base ` W ) /\ ( N ` { y } ) C_ U. { x e. A | x C_ U } ) -> ( N ` ( N ` { y } ) ) C_ ( N ` U. { x e. A | x C_ U } ) )
37	2, 25, 35, 36	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ y e. U ) /\ y =/= ( 0g ` W ) ) -> ( N ` ( N ` { y } ) ) C_ ( N ` U. { x e. A | x C_ U } ) )
38	13, 37	eqsstr3d 3640	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ y e. U ) /\ y =/= ( 0g ` W ) ) -> ( N ` { y } ) C_ ( N ` U. { x e. A | x C_ U } ) )
39	5, 9	lspsnid 18993	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ y e. ( Base ` W ) ) -> y e. ( N ` { y } ) )
40	2, 8, 39	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ y e. U ) /\ y =/= ( 0g ` W ) ) -> y e. ( N ` { y } ) )
41	38, 40	sseldd 3604	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ y e. U ) /\ y =/= ( 0g ` W ) ) -> y e. ( N ` U. { x e. A | x C_ U } ) )
42		simpll 790	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ y e. U ) -> W e. LMod )
43	5, 6, 9	lspcl 18976	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ U. { x e. A | x C_ U } C_ ( Base ` W ) ) -> ( N ` U. { x e. A | x C_ U } ) e. S )
44	24, 43	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( N ` U. { x e. A | x C_ U } ) e. S )
45	44	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ y e. U ) -> ( N ` U. { x e. A | x C_ U } ) e. S )
46	27, 6	lss0cl 18947	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( N ` U. { x e. A | x C_ U } ) e. S ) -> ( 0g ` W ) e. ( N ` U. { x e. A | x C_ U } ) )
47	42, 45, 46	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ y e. U ) -> ( 0g ` W ) e. ( N ` U. { x e. A | x C_ U } ) )
48	1, 41, 47	pm2.61ne 2879	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ y e. U ) -> y e. ( N ` U. { x e. A | x C_ U } ) )
49	48	ex 450	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( y e. U -> y e. ( N ` U. { x e. A | x C_ U } ) ) )
50	49	ssrdv 3609	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U C_ ( N ` U. { x e. A | x C_ U } ) )
51		simpl 473	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> W e. LMod )
52	5, 9	lspss 18984	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U. { x e. S | x C_ U } C_ ( Base ` W ) /\ U. { x e. A | x C_ U } C_ U. { x e. S | x C_ U } ) -> ( N ` U. { x e. A | x C_ U } ) C_ ( N ` U. { x e. S | x C_ U } ) )
53	51, 23, 19, 52	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( N ` U. { x e. A | x C_ U } ) C_ ( N ` U. { x e. S | x C_ U } ) )
54	20	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U. { x e. S | x C_ U } = U )
55	54	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( N ` U. { x e. S | x C_ U } ) = ( N ` U ) )
56	6, 9	lspid 18982	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( N ` U ) = U )
57	55, 56	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( N ` U. { x e. S | x C_ U } ) = U )
58	53, 57	sseqtrd 3641	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( N ` U. { x e. A | x C_ U } ) C_ U )
59	50, 58	eqssd 3620	1 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U = ( N ` U. { x e. A | x C_ U } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   C_ wss 3574   {csn 4177   U.cuni 4436   ` cfv 5888   Basecbs 15857   0gc0g 16100   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   LSpanclspn 18971  LSAtomsclsa 34261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lsatoms 34263

This theorem is referenced by:  lpssat  34300  lssatle  34302  lssat  34303