Theorem mapsnconst 7903

Description: Every singleton map is a constant function. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapsncnv.s	|- S = { X }
mapsncnv.b	|- B e. _V
mapsncnv.x	|- X e. _V

Assertion

Ref	Expression
mapsnconst	|- ( F e. ( B ^m S ) -> F = ( S X. { ( F ` X ) } ) )

Proof of Theorem mapsnconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapsncnv.b	. . . 4 |- B e. _V
2		snex 4908	. . . 4 |- { X } e. _V
3	1, 2	elmap 7886	. . 3 |- ( F e. ( B ^m { X } ) <-> F : { X } --> B )
4		mapsncnv.x	. . . . . 6 |- X e. _V
5	4	fsn2 6403	. . . . 5 |- ( F : { X } --> B <-> ( ( F ` X ) e. B /\ F = { <. X , ( F ` X ) >. } ) )
6	5	simprbi 480	. . . 4 |- ( F : { X } --> B -> F = { <. X , ( F ` X ) >. } )
7		mapsncnv.s	. . . . . 6 |- S = { X }
8	7	xpeq1i 5135	. . . . 5 |- ( S X. { ( F ` X ) } ) = ( { X } X. { ( F ` X ) } )
9		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( F ` X ) e. _V
10	4, 9	xpsn 6407	. . . . 5 |- ( { X } X. { ( F ` X ) } ) = { <. X , ( F ` X ) >. }
11	8, 10	eqtr2i 2645	. . . 4 |- { <. X , ( F ` X ) >. } = ( S X. { ( F ` X ) } )
12	6, 11	syl6eq 2672	. . 3 |- ( F : { X } --> B -> F = ( S X. { ( F ` X ) } ) )
13	3, 12	sylbi 207	. 2 |- ( F e. ( B ^m { X } ) -> F = ( S X. { ( F ` X ) } ) )
14	7	oveq2i 6661	. 2 |- ( B ^m S ) = ( B ^m { X } )
15	13, 14	eleq2s 2719	1 |- ( F e. ( B ^m S ) -> F = ( S X. { ( F ` X ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   {csn 4177   <.cop 4183   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859

This theorem is referenced by:  mapsncnv  7904  fvcoe1  19577  coe1mul2lem1  19637  coe1mul2  19639