Theorem fvcoe1 19577

Description: Value of a multivariate coefficient in terms of the coefficient vector. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
coe1fval.a	|- A = (coe1 ` F )

Assertion

Ref	Expression
fvcoe1	|- ( ( F e. V /\ X e. ( NN0 ^m 1o ) ) -> ( F ` X ) = ( A ` ( X ` (/) ) ) )

Proof of Theorem fvcoe1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 7572	. . . . 5 |- 1o = { (/) }
2		nn0ex 11298	. . . . 5 |- NN0 e. _V
3		0ex 4790	. . . . 5 |- (/) e. _V
4	1, 2, 3	mapsnconst 7903	. . . 4 |- ( X e. ( NN0 ^m 1o ) -> X = ( 1o X. { ( X ` (/) ) } ) )
5	4	adantl 482	. . 3 |- ( ( F e. V /\ X e. ( NN0 ^m 1o ) ) -> X = ( 1o X. { ( X ` (/) ) } ) )
6	5	fveq2d 6195	. 2 |- ( ( F e. V /\ X e. ( NN0 ^m 1o ) ) -> ( F ` X ) = ( F ` ( 1o X. { ( X ` (/) ) } ) ) )
7		elmapi 7879	. . . 4 |- ( X e. ( NN0 ^m 1o ) -> X : 1o --> NN0 )
8		0lt1o 7584	. . . 4 |- (/) e. 1o
9		ffvelrn 6357	. . . 4 |- ( ( X : 1o --> NN0 /\ (/) e. 1o ) -> ( X ` (/) ) e. NN0 )
10	7, 8, 9	sylancl 694	. . 3 |- ( X e. ( NN0 ^m 1o ) -> ( X ` (/) ) e. NN0 )
11		coe1fval.a	. . . 4 |- A = (coe1 ` F )
12	11	coe1fv 19576	. . 3 |- ( ( F e. V /\ ( X ` (/) ) e. NN0 ) -> ( A ` ( X ` (/) ) ) = ( F ` ( 1o X. { ( X ` (/) ) } ) ) )
13	10, 12	sylan2 491	. 2 |- ( ( F e. V /\ X e. ( NN0 ^m 1o ) ) -> ( A ` ( X ` (/) ) ) = ( F ` ( 1o X. { ( X ` (/) ) } ) ) )
14	6, 13	eqtr4d 2659	1 |- ( ( F e. V /\ X e. ( NN0 ^m 1o ) ) -> ( F ` X ) = ( A ` ( X ` (/) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   (/)c0 3915   {csn 4177   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1oc1o 7553   ^m cmap 7857   NN0cn0 11292  coe₁cco1 19548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-map 7859  df-nn 11021  df-n0 11293  df-coe1 19553

This theorem is referenced by:  coe1mul2  19639  ply1coe  19666  deg1ldg  23852  deg1leb  23855