Theorem mbfmcst 30321

Description: A constant function is measurable. Cf. mbfconst 23402. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfmcst.1	|- ( ph -> S e. U. ran sigAlgebra )
mbfmcst.2	|- ( ph -> T e. U. ran sigAlgebra )
mbfmcst.3	|- ( ph -> F = ( x e. U. S |-> A ) )
mbfmcst.4	|- ( ph -> A e. U. T )

Assertion

Ref	Expression
mbfmcst	|- ( ph -> F e. ( SMblFnM T ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, S   x, T   ph, x

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem mbfmcst

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfmcst.3	. . . 4 |- ( ph -> F = ( x e. U. S |-> A ) )
2		mbfmcst.4	. . . . 5 |- ( ph -> A e. U. T )
3	2	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. U. S ) -> A e. U. T )
4	1, 3	fmpt3d 6386	. . 3 |- ( ph -> F : U. S --> U. T )
5		mbfmcst.2	. . . . 5 |- ( ph -> T e. U. ran sigAlgebra )
6		unielsiga 30191	. . . . 5 |- ( T e. U. ran sigAlgebra -> U. T e. T )
7	5, 6	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> U. T e. T )
8		mbfmcst.1	. . . . 5 |- ( ph -> S e. U. ran sigAlgebra )
9		unielsiga 30191	. . . . 5 |- ( S e. U. ran sigAlgebra -> U. S e. S )
10	8, 9	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> U. S e. S )
11	7, 10	elmapd 7871	. . 3 |- ( ph -> ( F e. ( U. T ^m U. S ) <-> F : U. S --> U. T ) )
12	4, 11	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> F e. ( U. T ^m U. S ) )
13		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. S X. { A } ) = ( x e. U. S |-> A )
14	13	cnveqi 5297	. . . . . . . . . 10 |- `' ( U. S X. { A } ) = `' ( x e. U. S |-> A )
15		cnvxp 5551	. . . . . . . . . 10 |- `' ( U. S X. { A } ) = ( { A } X. U. S )
16	14, 15	eqtr3i 2646	. . . . . . . . 9 |- `' ( x e. U. S |-> A ) = ( { A } X. U. S )
17	16	imaeq1i 5463	. . . . . . . 8 |- ( `' ( x e. U. S |-> A ) " y ) = ( ( { A } X. U. S ) " y )
18		df-ima 5127	. . . . . . . 8 |- ( ( { A } X. U. S ) " y ) = ran ( ( { A } X. U. S ) |` y )
19		df-rn 5125	. . . . . . . 8 |- ran ( ( { A } X. U. S ) |` y ) = dom `' ( ( { A } X. U. S ) |` y )
20	17, 18, 19	3eqtri 2648	. . . . . . 7 |- ( `' ( x e. U. S |-> A ) " y ) = dom `' ( ( { A } X. U. S ) |` y )
21		df-res 5126	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { A } X. U. S ) |` y ) = ( ( { A } X. U. S ) i^i ( y X. _V ) )
22		inxp 5254	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { A } X. U. S ) i^i ( y X. _V ) ) = ( ( { A } i^i y ) X. ( U. S i^i _V ) )
23		inv1 3970	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. S i^i _V ) = U. S
24	23	xpeq2i 5136	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { A } i^i y ) X. ( U. S i^i _V ) ) = ( ( { A } i^i y ) X. U. S )
25	21, 22, 24	3eqtri 2648	. . . . . . . . 9 |- ( ( { A } X. U. S ) |` y ) = ( ( { A } i^i y ) X. U. S )
26	25	cnveqi 5297	. . . . . . . 8 |- `' ( ( { A } X. U. S ) |` y ) = `' ( ( { A } i^i y ) X. U. S )
27	26	dmeqi 5325	. . . . . . 7 |- dom `' ( ( { A } X. U. S ) |` y ) = dom `' ( ( { A } i^i y ) X. U. S )
28		cnvxp 5551	. . . . . . . 8 |- `' ( ( { A } i^i y ) X. U. S ) = ( U. S X. ( { A } i^i y ) )
29	28	dmeqi 5325	. . . . . . 7 |- dom `' ( ( { A } i^i y ) X. U. S ) = dom ( U. S X. ( { A } i^i y ) )
30	20, 27, 29	3eqtri 2648	. . . . . 6 |- ( `' ( x e. U. S |-> A ) " y ) = dom ( U. S X. ( { A } i^i y ) )
31		xpeq2 5129	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { A } i^i y ) = (/) -> ( U. S X. ( { A } i^i y ) ) = ( U. S X. (/) ) )
32		xp0 5552	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. S X. (/) ) = (/)
33	31, 32	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { A } i^i y ) = (/) -> ( U. S X. ( { A } i^i y ) ) = (/) )
34	33	dmeqd 5326	. . . . . . . . 9 |- ( ( { A } i^i y ) = (/) -> dom ( U. S X. ( { A } i^i y ) ) = dom (/) )
35		dm0 5339	. . . . . . . . 9 |- dom (/) = (/)
36	34, 35	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( ( { A } i^i y ) = (/) -> dom ( U. S X. ( { A } i^i y ) ) = (/) )
37	36	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( { A } i^i y ) = (/) ) -> dom ( U. S X. ( { A } i^i y ) ) = (/) )
38		0elsiga 30177	. . . . . . . . 9 |- ( S e. U. ran sigAlgebra -> (/) e. S )
39	8, 38	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (/) e. S )
40	39	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( { A } i^i y ) = (/) ) -> (/) e. S )
41	37, 40	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( { A } i^i y ) = (/) ) -> dom ( U. S X. ( { A } i^i y ) ) e. S )
42	30, 41	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( { A } i^i y ) = (/) ) -> ( `' ( x e. U. S |-> A ) " y ) e. S )
43		dmxp 5344	. . . . . . . 8 |- ( ( { A } i^i y ) =/= (/) -> dom ( U. S X. ( { A } i^i y ) ) = U. S )
44	43	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( { A } i^i y ) =/= (/) ) -> dom ( U. S X. ( { A } i^i y ) ) = U. S )
45	10	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( { A } i^i y ) =/= (/) ) -> U. S e. S )
46	44, 45	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( { A } i^i y ) =/= (/) ) -> dom ( U. S X. ( { A } i^i y ) ) e. S )
47	30, 46	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( { A } i^i y ) =/= (/) ) -> ( `' ( x e. U. S |-> A ) " y ) e. S )
48	42, 47	pm2.61dane 2881	. . . 4 |- ( ph -> ( `' ( x e. U. S |-> A ) " y ) e. S )
49	48	ralrimivw 2967	. . 3 |- ( ph -> A. y e. T ( `' ( x e. U. S |-> A ) " y ) e. S )
50	1	cnveqd 5298	. . . . . 6 |- ( ph -> `' F = `' ( x e. U. S |-> A ) )
51	50	imaeq1d 5465	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' F " y ) = ( `' ( x e. U. S |-> A ) " y ) )
52	51	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( ph -> ( ( `' F " y ) e. S <-> ( `' ( x e. U. S |-> A ) " y ) e. S ) )
53	52	ralbidv 2986	. . 3 |- ( ph -> ( A. y e. T ( `' F " y ) e. S <-> A. y e. T ( `' ( x e. U. S |-> A ) " y ) e. S ) )
54	49, 53	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> A. y e. T ( `' F " y ) e. S )
55	8, 5	ismbfm 30314	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( SMblFnM T ) <-> ( F e. ( U. T ^m U. S ) /\ A. y e. T ( `' F " y ) e. S ) ) )
56	12, 54, 55	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> F e. ( SMblFnM T ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   -->wf 5884  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857  sigAlgebracsiga 30170  MblFnMcmbfm 30312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-siga 30171  df-mbfm 30313

This theorem is referenced by:  sibf0  30396