Theorem mbfconst 23402

Description: A constant function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mbfconst	|- ( ( A e. dom vol /\ B e. CC ) -> ( A X. { B } ) e. MblFn )

Proof of Theorem mbfconst

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 792	. . . 4 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. CC ) /\ x e. A ) -> B e. CC )
2		fconstmpt 5163	. . . 4 |- ( A X. { B } ) = ( x e. A |-> B )
3	1, 2	fmptd 6385	. . 3 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. CC ) -> ( A X. { B } ) : A --> CC )
4		mblss 23299	. . . 4 |- ( A e. dom vol -> A C_ RR )
5	4	adantr 481	. . 3 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. CC ) -> A C_ RR )
6		cnex 10017	. . . 4 |- CC e. _V
7		reex 10027	. . . 4 |- RR e. _V
8		elpm2r 7875	. . . 4 |- ( ( ( CC e. _V /\ RR e. _V ) /\ ( ( A X. { B } ) : A --> CC /\ A C_ RR ) ) -> ( A X. { B } ) e. ( CC ^pm RR ) )
9	6, 7, 8	mpanl12 718	. . 3 |- ( ( ( A X. { B } ) : A --> CC /\ A C_ RR ) -> ( A X. { B } ) e. ( CC ^pm RR ) )
10	3, 5, 9	syl2anc 693	. 2 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. CC ) -> ( A X. { B } ) e. ( CC ^pm RR ) )
11	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. CC ) -> ( A X. { B } ) = ( x e. A |-> B ) )
12		ref 13852	. . . . . . . . . . 11 |- Re : CC --> RR
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. CC ) -> Re : CC --> RR )
14	13	feqmptd 6249	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. CC ) -> Re = ( y e. CC |-> ( Re ` y ) ) )
15		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> ( Re ` y ) = ( Re ` B ) )
16	1, 11, 14, 15	fmptco 6396	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. CC ) -> ( Re o. ( A X. { B } ) ) = ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) )
17		fconstmpt 5163	. . . . . . . 8 |- ( A X. { ( Re ` B ) } ) = ( x e. A |-> ( Re ` B ) )
18	16, 17	syl6eqr 2674	. . . . . . 7 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. CC ) -> ( Re o. ( A X. { B } ) ) = ( A X. { ( Re ` B ) } ) )
19	18	cnveqd 5298	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. CC ) -> `' ( Re o. ( A X. { B } ) ) = `' ( A X. { ( Re ` B ) } ) )
20	19	imaeq1d 5465	. . . . 5 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. CC ) -> ( `' ( Re o. ( A X. { B } ) ) " y ) = ( `' ( A X. { ( Re ` B ) } ) " y ) )
21		recl 13850	. . . . . 6 |- ( B e. CC -> ( Re ` B ) e. RR )
22		mbfconstlem 23396	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom vol /\ ( Re ` B ) e. RR ) -> ( `' ( A X. { ( Re ` B ) } ) " y ) e. dom vol )
23	21, 22	sylan2 491	. . . . 5 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. CC ) -> ( `' ( A X. { ( Re ` B ) } ) " y ) e. dom vol )
24	20, 23	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. CC ) -> ( `' ( Re o. ( A X. { B } ) ) " y ) e. dom vol )
25		imf 13853	. . . . . . . . . . 11 |- Im : CC --> RR
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. CC ) -> Im : CC --> RR )
27	26	feqmptd 6249	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. CC ) -> Im = ( y e. CC |-> ( Im ` y ) ) )
28		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> ( Im ` y ) = ( Im ` B ) )
29	1, 11, 27, 28	fmptco 6396	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. CC ) -> ( Im o. ( A X. { B } ) ) = ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) )
30		fconstmpt 5163	. . . . . . . 8 |- ( A X. { ( Im ` B ) } ) = ( x e. A |-> ( Im ` B ) )
31	29, 30	syl6eqr 2674	. . . . . . 7 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. CC ) -> ( Im o. ( A X. { B } ) ) = ( A X. { ( Im ` B ) } ) )
32	31	cnveqd 5298	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. CC ) -> `' ( Im o. ( A X. { B } ) ) = `' ( A X. { ( Im ` B ) } ) )
33	32	imaeq1d 5465	. . . . 5 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. CC ) -> ( `' ( Im o. ( A X. { B } ) ) " y ) = ( `' ( A X. { ( Im ` B ) } ) " y ) )
34		imcl 13851	. . . . . 6 |- ( B e. CC -> ( Im ` B ) e. RR )
35		mbfconstlem 23396	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom vol /\ ( Im ` B ) e. RR ) -> ( `' ( A X. { ( Im ` B ) } ) " y ) e. dom vol )
36	34, 35	sylan2 491	. . . . 5 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. CC ) -> ( `' ( A X. { ( Im ` B ) } ) " y ) e. dom vol )
37	33, 36	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. CC ) -> ( `' ( Im o. ( A X. { B } ) ) " y ) e. dom vol )
38	24, 37	jca 554	. . 3 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. CC ) -> ( ( `' ( Re o. ( A X. { B } ) ) " y ) e. dom vol /\ ( `' ( Im o. ( A X. { B } ) ) " y ) e. dom vol ) )
39	38	ralrimivw 2967	. 2 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. CC ) -> A. y e. ran (,) ( ( `' ( Re o. ( A X. { B } ) ) " y ) e. dom vol /\ ( `' ( Im o. ( A X. { B } ) ) " y ) e. dom vol ) )
40		ismbf1 23393	. 2 |- ( ( A X. { B } ) e. MblFn <-> ( ( A X. { B } ) e. ( CC ^pm RR ) /\ A. y e. ran (,) ( ( `' ( Re o. ( A X. { B } ) ) " y ) e. dom vol /\ ( `' ( Im o. ( A X. { B } ) ) " y ) e. dom vol ) ) )
41	10, 39, 40	sylanbrc 698	1 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. CC ) -> ( A X. { B } ) e. MblFn )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {csn 4177   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^pm cpm 7858   CCcc 9934   RRcr 9935   (,)cioo 12175   Recre 13837   Imcim 13838   volcvol 23232  MblFncmbf 23383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388

This theorem is referenced by:  mbfss  23413  mbfmulc2lem  23414  mbfpos  23418  ibl0  23553  iblconst  23584  0mbf  33455