Theorem mbfmco2 30327

Description: The pair building of two measurable functions is measurable. ( cf. cnmpt1t 21468). (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfmco.1	|- ( ph -> R e. U. ran sigAlgebra )
mbfmco.2	|- ( ph -> S e. U. ran sigAlgebra )
mbfmco.3	|- ( ph -> T e. U. ran sigAlgebra )
mbfmco2.4	|- ( ph -> F e. ( RMblFnM S ) )
mbfmco2.5	|- ( ph -> G e. ( RMblFnM T ) )
mbfmco2.6	|- H = ( x e. U. R |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. )

Assertion

Ref	Expression
mbfmco2	|- ( ph -> H e. ( RMblFnM ( S ×s T ) ) )

Distinct variable groups:   x, R   x, S   x, T   ph, x   x, F   x, G   x, H

Proof of Theorem mbfmco2

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfmco.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. U. ran sigAlgebra )
2		mbfmco.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. U. ran sigAlgebra )
3		mbfmco2.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. ( RMblFnM S ) )
4	1, 2, 3	mbfmf 30317	. . . . . 6 |- ( ph -> F : U. R --> U. S )
5	4	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U. R ) -> ( F ` x ) e. U. S )
6		mbfmco.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> T e. U. ran sigAlgebra )
7		mbfmco2.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. ( RMblFnM T ) )
8	1, 6, 7	mbfmf 30317	. . . . . 6 |- ( ph -> G : U. R --> U. T )
9	8	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U. R ) -> ( G ` x ) e. U. T )
10		opelxpi 5148	. . . . 5 |- ( ( ( F ` x ) e. U. S /\ ( G ` x ) e. U. T ) -> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( U. S X. U. T ) )
11	5, 9, 10	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. U. R ) -> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( U. S X. U. T ) )
12		sxuni 30256	. . . . . 6 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ T e. U. ran sigAlgebra ) -> ( U. S X. U. T ) = U. ( S ×s T ) )
13	2, 6, 12	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( U. S X. U. T ) = U. ( S ×s T ) )
14	13	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. U. R ) -> ( U. S X. U. T ) = U. ( S ×s T ) )
15	11, 14	eleqtrd 2703	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. U. R ) -> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. U. ( S ×s T ) )
16		mbfmco2.6	. . 3 |- H = ( x e. U. R |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. )
17	15, 16	fmptd 6385	. 2 |- ( ph -> H : U. R --> U. ( S ×s T ) )
18		eqid 2622	. . . . 5 |- ( a e. S , b e. T |-> ( a X. b ) ) = ( a e. S , b e. T |-> ( a X. b ) )
19		vex 3203	. . . . . 6 |- a e. _V
20		vex 3203	. . . . . 6 |- b e. _V
21	19, 20	xpex 6962	. . . . 5 |- ( a X. b ) e. _V
22	18, 21	elrnmpt2 6773	. . . 4 |- ( c e. ran ( a e. S , b e. T |-> ( a X. b ) ) <-> E. a e. S E. b e. T c = ( a X. b ) )
23		simp3 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( a e. S /\ b e. T ) /\ c = ( a X. b ) ) -> c = ( a X. b ) )
24	23	imaeq2d 5466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. S /\ b e. T ) /\ c = ( a X. b ) ) -> ( `' H " c ) = ( `' H " ( a X. b ) ) )
25		simp1 1061	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( a e. S /\ b e. T ) /\ c = ( a X. b ) ) -> ph )
26		simp2l 1087	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( a e. S /\ b e. T ) /\ c = ( a X. b ) ) -> a e. S )
27		simp2r 1088	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( a e. S /\ b e. T ) /\ c = ( a X. b ) ) -> b e. T )
28	4, 8, 16	xppreima2 29450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( `' H " ( a X. b ) ) = ( ( `' F " a ) i^i ( `' G " b ) ) )
29	28	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. S /\ b e. T ) -> ( `' H " ( a X. b ) ) = ( ( `' F " a ) i^i ( `' G " b ) ) )
30	1	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. S /\ b e. T ) -> R e. U. ran sigAlgebra )
31	2	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. S /\ b e. T ) -> S e. U. ran sigAlgebra )
32	3	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. S /\ b e. T ) -> F e. ( RMblFnM S ) )
33		simp2 1062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. S /\ b e. T ) -> a e. S )
34	30, 31, 32, 33	mbfmcnvima 30319	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. S /\ b e. T ) -> ( `' F " a ) e. R )
35	6	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. S /\ b e. T ) -> T e. U. ran sigAlgebra )
36	7	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. S /\ b e. T ) -> G e. ( RMblFnM T ) )
37		simp3 1063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. S /\ b e. T ) -> b e. T )
38	30, 35, 36, 37	mbfmcnvima 30319	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. S /\ b e. T ) -> ( `' G " b ) e. R )
39		inelsiga 30198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. U. ran sigAlgebra /\ ( `' F " a ) e. R /\ ( `' G " b ) e. R ) -> ( ( `' F " a ) i^i ( `' G " b ) ) e. R )
40	30, 34, 38, 39	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. S /\ b e. T ) -> ( ( `' F " a ) i^i ( `' G " b ) ) e. R )
41	29, 40	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. S /\ b e. T ) -> ( `' H " ( a X. b ) ) e. R )
42	25, 26, 27, 41	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. S /\ b e. T ) /\ c = ( a X. b ) ) -> ( `' H " ( a X. b ) ) e. R )
43	24, 42	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. S /\ b e. T ) /\ c = ( a X. b ) ) -> ( `' H " c ) e. R )
44	43	3expia 1267	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. S /\ b e. T ) ) -> ( c = ( a X. b ) -> ( `' H " c ) e. R ) )
45	44	rexlimdvva 3038	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. a e. S E. b e. T c = ( a X. b ) -> ( `' H " c ) e. R ) )
46	45	imp 445	. . . 4 |- ( ( ph /\ E. a e. S E. b e. T c = ( a X. b ) ) -> ( `' H " c ) e. R )
47	22, 46	sylan2b 492	. . 3 |- ( ( ph /\ c e. ran ( a e. S , b e. T |-> ( a X. b ) ) ) -> ( `' H " c ) e. R )
48	47	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. c e. ran ( a e. S , b e. T |-> ( a X. b ) ) ( `' H " c ) e. R )
49		eqid 2622	. . . . 5 |- ran ( a e. S , b e. T |-> ( a X. b ) ) = ran ( a e. S , b e. T |-> ( a X. b ) )
50	49	txbasex 21369	. . . 4 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ T e. U. ran sigAlgebra ) -> ran ( a e. S , b e. T |-> ( a X. b ) ) e. _V )
51	2, 6, 50	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ran ( a e. S , b e. T |-> ( a X. b ) ) e. _V )
52	49	sxval 30253	. . . 4 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ T e. U. ran sigAlgebra ) -> ( S ×s T ) = (sigaGen ` ran ( a e. S , b e. T |-> ( a X. b ) ) ) )
53	2, 6, 52	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( S ×s T ) = (sigaGen ` ran ( a e. S , b e. T |-> ( a X. b ) ) ) )
54	51, 1, 53	imambfm 30324	. 2 |- ( ph -> ( H e. ( RMblFnM ( S ×s T ) ) <-> ( H : U. R --> U. ( S ×s T ) /\ A. c e. ran ( a e. S , b e. T |-> ( a X. b ) ) ( `' H " c ) e. R ) ) )
55	17, 48, 54	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> H e. ( RMblFnM ( S ×s T ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   <.cop 4183   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   ran crn 5115   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652  sigAlgebracsiga 30170  sigaGencsigagen 30201   ×_s csx 30251  MblFnMcmbfm 30312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-siga 30171  df-sigagen 30202  df-sx 30252  df-mbfm 30313

This theorem is referenced by:  rrvadd  30514