Theorem mptsnunlem 33185

Description: This is the core of the proof of mptsnun 33186, but to avoid the distinct variables on the definitions, we split this proof into two. (Contributed by ML, 16-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mptsnun.f	|- F = ( x e. A |-> { x } )
mptsnun.r	|- R = { u | E. x e. A u = { x } }

Assertion

Ref	Expression
mptsnunlem	|- ( B C_ A -> B = U. ( F " B ) )

Distinct variable groups:   u, A, x   u, B, x   x, F

Allowed substitution hints:   R( x, u)   F( u)

Proof of Theorem mptsnunlem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5127	. . . . . . 7 |- ( F " B ) = ran ( F |` B )
2		mptsnun.f	. . . . . . . . . . 11 |- F = ( x e. A |-> { x } )
3	2	reseq1i 5392	. . . . . . . . . 10 |- ( F |` B ) = ( ( x e. A |-> { x } ) |` B )
4		resmpt 5449	. . . . . . . . . 10 |- ( B C_ A -> ( ( x e. A |-> { x } ) |` B ) = ( x e. B |-> { x } ) )
5	3, 4	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( B C_ A -> ( F |` B ) = ( x e. B |-> { x } ) )
6	5	rneqd 5353	. . . . . . . 8 |- ( B C_ A -> ran ( F |` B ) = ran ( x e. B |-> { x } ) )
7		rnmptsn 33182	. . . . . . . 8 |- ran ( x e. B |-> { x } ) = { u | E. x e. B u = { x } }
8	6, 7	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( B C_ A -> ran ( F |` B ) = { u | E. x e. B u = { x } } )
9	1, 8	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( B C_ A -> ( F " B ) = { u | E. x e. B u = { x } } )
10	9	unieqd 4446	. . . . 5 |- ( B C_ A -> U. ( F " B ) = U. { u | E. x e. B u = { x } } )
11	10	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( B C_ A -> ( x e. U. ( F " B ) <-> x e. U. { u | E. x e. B u = { x } } ) )
12		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( z = x -> ( z e. B <-> x e. B ) )
13		eluniab 4447	. . . . . . . . 9 |- ( z e. U. { u | E. x e. B u = { x } } <-> E. u ( z e. u /\ E. x e. B u = { x } ) )
14		ancom 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. u /\ E. x e. B u = { x } ) <-> ( E. x e. B u = { x } /\ z e. u ) )
15		r19.41v 3089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. x e. B ( u = { x } /\ z e. u ) <-> ( E. x e. B u = { x } /\ z e. u ) )
16		df-rex 2918	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. x e. B ( u = { x } /\ z e. u ) <-> E. x ( x e. B /\ ( u = { x } /\ z e. u ) ) )
17	14, 15, 16	3bitr2i 288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. u /\ E. x e. B u = { x } ) <-> E. x ( x e. B /\ ( u = { x } /\ z e. u ) ) )
18		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = { x } -> ( z e. u <-> z e. { x } ) )
19	18	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = { x } -> ( ( u = { x } /\ z e. u ) <-> ( u = { x } /\ z e. { x } ) ) )
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u = { x } /\ z e. u ) -> ( ( u = { x } /\ z e. u ) <-> ( u = { x } /\ z e. { x } ) ) )
21	20	ibi 256	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u = { x } /\ z e. u ) -> ( u = { x } /\ z e. { x } ) )
22	21	anim2i 593	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. B /\ ( u = { x } /\ z e. u ) ) -> ( x e. B /\ ( u = { x } /\ z e. { x } ) ) )
23	22	eximi 1762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. x ( x e. B /\ ( u = { x } /\ z e. u ) ) -> E. x ( x e. B /\ ( u = { x } /\ z e. { x } ) ) )
24	17, 23	sylbi 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. u /\ E. x e. B u = { x } ) -> E. x ( x e. B /\ ( u = { x } /\ z e. { x } ) ) )
25		an12 838	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. B /\ ( u = { x } /\ z e. { x } ) ) <-> ( u = { x } /\ ( x e. B /\ z e. { x } ) ) )
26	25	exbii 1774	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. x ( x e. B /\ ( u = { x } /\ z e. { x } ) ) <-> E. x ( u = { x } /\ ( x e. B /\ z e. { x } ) ) )
27		exsimpr 1796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. x ( u = { x } /\ ( x e. B /\ z e. { x } ) ) -> E. x ( x e. B /\ z e. { x } ) )
28	26, 27	sylbi 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. x ( x e. B /\ ( u = { x } /\ z e. { x } ) ) -> E. x ( x e. B /\ z e. { x } ) )
29	24, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. u /\ E. x e. B u = { x } ) -> E. x ( x e. B /\ z e. { x } ) )
30	29	exlimiv 1858	. . . . . . . . 9 |- ( E. u ( z e. u /\ E. x e. B u = { x } ) -> E. x ( x e. B /\ z e. { x } ) )
31	13, 30	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( z e. U. { u | E. x e. B u = { x } } -> E. x ( x e. B /\ z e. { x } ) )
32		velsn 4193	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. { x } <-> z = x )
33	32	anbi2i 730	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. B /\ z e. { x } ) <-> ( x e. B /\ z = x ) )
34	33	exbii 1774	. . . . . . . 8 |- ( E. x ( x e. B /\ z e. { x } ) <-> E. x ( x e. B /\ z = x ) )
35	31, 34	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( z e. U. { u | E. x e. B u = { x } } -> E. x ( x e. B /\ z = x ) )
36	12	biimparc 504	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. B /\ z = x ) -> z e. B )
37	36	exlimiv 1858	. . . . . . 7 |- ( E. x ( x e. B /\ z = x ) -> z e. B )
38	35, 37	syl 17	. . . . . 6 |- ( z e. U. { u | E. x e. B u = { x } } -> z e. B )
39	12, 38	vtoclga 3272	. . . . 5 |- ( x e. U. { u | E. x e. B u = { x } } -> x e. B )
40		equid 1939	. . . . . 6 |- x = x
41		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- { x } = { x }
42		snex 4908	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { x } e. _V
43		sbcg 3503	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { x } e. _V -> ( [. { x } / u ]. x e. B <-> x e. B ) )
44	42, 43	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( [. { x } / u ]. x e. B <-> x e. B )
45		eqsbc3 3475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { x } e. _V -> ( [. { x } / u ]. u = { x } <-> { x } = { x } ) )
46	42, 45	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( [. { x } / u ]. u = { x } <-> { x } = { x } )
47	18	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. B /\ u = { x } ) -> ( z e. u <-> z e. { x } ) )
48		df-rex 2918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( E. x e. B u = { x } <-> E. x ( x e. B /\ u = { x } ) )
49	13	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( E. u ( z e. u /\ E. x e. B u = { x } ) -> z e. U. { u | E. x e. B u = { x } } )
50	49	19.23bi 2061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z e. u /\ E. x e. B u = { x } ) -> z e. U. { u | E. x e. B u = { x } } )
51	50	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( E. x e. B u = { x } -> ( z e. u -> z e. U. { u | E. x e. B u = { x } } ) )
52	48, 51	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( E. x ( x e. B /\ u = { x } ) -> ( z e. u -> z e. U. { u | E. x e. B u = { x } } ) )
53	52	19.23bi 2061	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. B /\ u = { x } ) -> ( z e. u -> z e. U. { u | E. x e. B u = { x } } ) )
54	47, 53	sylbird 250	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. B /\ u = { x } ) -> ( z e. { x } -> z e. U. { u | E. x e. B u = { x } } ) )
55	54	sbcth 3450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { x } e. _V -> [. { x } / u ]. ( ( x e. B /\ u = { x } ) -> ( z e. { x } -> z e. U. { u | E. x e. B u = { x } } ) ) )
56	42, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- [. { x } / u ]. ( ( x e. B /\ u = { x } ) -> ( z e. { x } -> z e. U. { u | E. x e. B u = { x } } ) )
57		sbcimg 3477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { x } e. _V -> ( [. { x } / u ]. ( ( x e. B /\ u = { x } ) -> ( z e. { x } -> z e. U. { u | E. x e. B u = { x } } ) ) <-> ( [. { x } / u ]. ( x e. B /\ u = { x } ) -> [. { x } / u ]. ( z e. { x } -> z e. U. { u | E. x e. B u = { x } } ) ) ) )
58	42, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [. { x } / u ]. ( ( x e. B /\ u = { x } ) -> ( z e. { x } -> z e. U. { u | E. x e. B u = { x } } ) ) <-> ( [. { x } / u ]. ( x e. B /\ u = { x } ) -> [. { x } / u ]. ( z e. { x } -> z e. U. { u | E. x e. B u = { x } } ) ) )
59	56, 58	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [. { x } / u ]. ( x e. B /\ u = { x } ) -> [. { x } / u ]. ( z e. { x } -> z e. U. { u | E. x e. B u = { x } } ) )
60		sbcan 3478	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [. { x } / u ]. ( x e. B /\ u = { x } ) <-> ( [. { x } / u ]. x e. B /\ [. { x } / u ]. u = { x } ) )
61		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ u z e. { x }
62		nfab1 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ u { u | E. x e. B u = { x } }
63	62	nfuni 4442	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ u U. { u | E. x e. B u = { x } }
64	63	nfcri 2758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ u z e. U. { u | E. x e. B u = { x } }
65	61, 64	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ u ( z e. { x } -> z e. U. { u | E. x e. B u = { x } } )
66		sbctt 3500	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( { x } e. _V /\ F/ u ( z e. { x } -> z e. U. { u | E. x e. B u = { x } } ) ) -> ( [. { x } / u ]. ( z e. { x } -> z e. U. { u | E. x e. B u = { x } } ) <-> ( z e. { x } -> z e. U. { u | E. x e. B u = { x } } ) ) )
67	42, 65, 66	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [. { x } / u ]. ( z e. { x } -> z e. U. { u | E. x e. B u = { x } } ) <-> ( z e. { x } -> z e. U. { u | E. x e. B u = { x } } ) )
68	59, 60, 67	3imtr3i 280	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( [. { x } / u ]. x e. B /\ [. { x } / u ]. u = { x } ) -> ( z e. { x } -> z e. U. { u | E. x e. B u = { x } } ) )
69	44, 46, 68	syl2anbr 497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. B /\ { x } = { x } ) -> ( z e. { x } -> z e. U. { u | E. x e. B u = { x } } ) )
70	41, 69	mpan2 707	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. B -> ( z e. { x } -> z e. U. { u | E. x e. B u = { x } } ) )
71	32, 70	syl5bir 233	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. B -> ( z = x -> z e. U. { u | E. x e. B u = { x } } ) )
72		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( z = x -> ( z e. U. { u | E. x e. B u = { x } } <-> x e. U. { u | E. x e. B u = { x } } ) )
73	71, 72	mpbidi 231	. . . . . . . . 9 |- ( x e. B -> ( z = x -> x e. U. { u | E. x e. B u = { x } } ) )
74	73	com12 32	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( x e. B -> x e. U. { u | E. x e. B u = { x } } ) )
75	74	sbimi 1886	. . . . . . 7 |- ( [ x / z ] z = x -> [ x / z ] ( x e. B -> x e. U. { u | E. x e. B u = { x } } ) )
76		equsb3 2432	. . . . . . 7 |- ( [ x / z ] z = x <-> x = x )
77		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ z ( x e. B -> x e. U. { u | E. x e. B u = { x } } )
78	77	sbf 2380	. . . . . . 7 |- ( [ x / z ] ( x e. B -> x e. U. { u | E. x e. B u = { x } } ) <-> ( x e. B -> x e. U. { u | E. x e. B u = { x } } ) )
79	75, 76, 78	3imtr3i 280	. . . . . 6 |- ( x = x -> ( x e. B -> x e. U. { u | E. x e. B u = { x } } ) )
80	40, 79	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( x e. B -> x e. U. { u | E. x e. B u = { x } } )
81	39, 80	impbii 199	. . . 4 |- ( x e. U. { u | E. x e. B u = { x } } <-> x e. B )
82	11, 81	syl6bb 276	. . 3 |- ( B C_ A -> ( x e. U. ( F " B ) <-> x e. B ) )
83	82	eqrdv 2620	. 2 |- ( B C_ A -> U. ( F " B ) = B )
84	83	eqcomd 2628	1 |- ( B C_ A -> B = U. ( F " B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   F/wnf 1708   [wsb 1880   e. wcel 1990   {cab 2608   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   C_ wss 3574   {csn 4177   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127

This theorem is referenced by:  mptsnun  33186