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Theorem wunnat 16616
Description: A weak universe is closed under the natural transformation operation. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wunnat.1 |- ( ph -> U e. WUni )
wunnat.2 |- ( ph -> C e. U )
wunnat.3 |- ( ph -> D e. U )
Assertion
Ref Expression
wunnat |- ( ph -> ( C Nat D ) e. U )
Proof of Theorem wunnat
Dummy variables f a g r s x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wunnat.1 . 2 |- ( ph -> U e. WUni )
2 wunnat.2 . . . 4 |- ( ph -> C e. U )
3 wunnat.3 . . . 4 |- ( ph -> D e. U )
41, 2, 3wunfunc 16559 . . 3 |- ( ph -> ( C Func D ) e. U )
51, 4, 4wunxp 9546 . 2 |- ( ph -> ( ( C Func D ) X. ( C Func D ) ) e. U )
6 df-hom 15966 . . . . . . 7 |- Hom = Slot ; 1 4
76, 1, 3wunstr 15881 . . . . . 6 |- ( ph -> ( Hom ` D ) e. U )
81, 7wunrn 9551 . . . . 5 |- ( ph -> ran ( Hom ` D ) e. U )
91, 8wununi 9528 . . . 4 |- ( ph -> U. ran ( Hom ` D ) e. U )
10 df-base 15863 . . . . 5 |- Base = Slot 1
1110, 1, 2wunstr 15881 . . . 4 |- ( ph -> ( Base ` C ) e. U )
121, 9, 11wunmap 9548 . . 3 |- ( ph -> ( U. ran ( Hom ` D ) ^m ( Base ` C ) ) e. U )
131, 12wunpw 9529 . 2 |- ( ph -> ~P ( U. ran ( Hom ` D ) ^m ( Base ` C ) ) e. U )
14 fvex 6201 . . . . . 6 |- ( 1st ` f ) e. _V
15 fvex 6201 . . . . . . . . 9 |- ( 1st ` g ) e. _V
16 ssrab2 3687 . . . . . . . . . . . . 13 |- { a e. X_ x e. ( Base ` C ) ( ( r ` x ) ( Hom ` D ) ( s ` x ) ) | A. x e. ( Base ` C ) A. y e. ( Base ` C ) A. z e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. (comp ` D ) ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` z ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` z ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. (comp ` D ) ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } C_ X_ x e. ( Base ` C ) ( ( r ` x ) ( Hom ` D ) ( s ` x ) )
17 ovssunirn 6681 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( r ` x ) ( Hom ` D ) ( s ` x ) ) C_ U. ran ( Hom ` D )
1817rgenw 2924 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- A. x e. ( Base ` C ) ( ( r ` x ) ( Hom ` D ) ( s ` x ) ) C_ U. ran ( Hom ` D )
19 ss2ixp 7921 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. x e. ( Base ` C ) ( ( r ` x ) ( Hom ` D ) ( s ` x ) ) C_ U. ran ( Hom ` D ) -> X_ x e. ( Base ` C ) ( ( r ` x ) ( Hom ` D ) ( s ` x ) ) C_ X_ x e. ( Base ` C ) U. ran ( Hom ` D ) )
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 |- X_ x e. ( Base ` C ) ( ( r ` x ) ( Hom ` D ) ( s ` x ) ) C_ X_ x e. ( Base ` C ) U. ran ( Hom ` D )
21 fvex 6201 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` C ) e. _V
22 fvex 6201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Hom ` D ) e. _V
2322rnex 7100 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ran ( Hom ` D ) e. _V
2423uniex 6953 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. ran ( Hom ` D ) e. _V
2521, 24ixpconst 7918 . . . . . . . . . . . . . 14 |- X_ x e. ( Base ` C ) U. ran ( Hom ` D ) = ( U. ran ( Hom ` D ) ^m ( Base ` C ) )
2620, 25sseqtri 3637 . . . . . . . . . . . . 13 |- X_ x e. ( Base ` C ) ( ( r ` x ) ( Hom ` D ) ( s ` x ) ) C_ ( U. ran ( Hom ` D ) ^m ( Base ` C ) )
2716, 26sstri 3612 . . . . . . . . . . . 12 |- { a e. X_ x e. ( Base ` C ) ( ( r ` x ) ( Hom ` D ) ( s ` x ) ) | A. x e. ( Base ` C ) A. y e. ( Base ` C ) A. z e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. (comp ` D ) ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` z ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` z ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. (comp ` D ) ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } C_ ( U. ran ( Hom ` D ) ^m ( Base ` C ) )
28 ovex 6678 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( U. ran ( Hom ` D ) ^m ( Base ` C ) ) e. _V
2928elpw2 4828 . . . . . . . . . . . 12 |- ( { a e. X_ x e. ( Base ` C ) ( ( r ` x ) ( Hom ` D ) ( s ` x ) ) | A. x e. ( Base ` C ) A. y e. ( Base ` C ) A. z e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. (comp ` D ) ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` z ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` z ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. (comp ` D ) ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } e. ~P ( U. ran ( Hom ` D ) ^m ( Base ` C ) ) <-> { a e. X_ x e. ( Base ` C ) ( ( r ` x ) ( Hom ` D ) ( s ` x ) ) | A. x e. ( Base ` C ) A. y e. ( Base ` C ) A. z e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. (comp ` D ) ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` z ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` z ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. (comp ` D ) ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } C_ ( U. ran ( Hom ` D ) ^m ( Base ` C ) ) )
3027, 29mpbir 221 . . . . . . . . . . 11 |- { a e. X_ x e. ( Base ` C ) ( ( r ` x ) ( Hom ` D ) ( s ` x ) ) | A. x e. ( Base ` C ) A. y e. ( Base ` C ) A. z e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. (comp ` D ) ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` z ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` z ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. (comp ` D ) ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } e. ~P ( U. ran ( Hom ` D ) ^m ( Base ` C ) )
3130sbcth 3450 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 1st ` g ) e. _V -> [. ( 1st ` g ) / s ]. { a e. X_ x e. ( Base ` C ) ( ( r ` x ) ( Hom ` D ) ( s ` x ) ) | A. x e. ( Base ` C ) A. y e. ( Base ` C ) A. z e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. (comp ` D ) ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` z ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` z ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. (comp ` D ) ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } e. ~P ( U. ran ( Hom ` D ) ^m ( Base ` C ) ) )
32 sbcel1g 3987 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 1st ` g ) e. _V -> ( [. ( 1st ` g ) / s ]. { a e. X_ x e. ( Base ` C ) ( ( r ` x ) ( Hom ` D ) ( s ` x ) ) | A. x e. ( Base ` C ) A. y e. ( Base ` C ) A. z e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. (comp ` D ) ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` z ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` z ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. (comp ` D ) ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } e. ~P ( U. ran ( Hom ` D ) ^m ( Base ` C ) ) <-> [_ ( 1st ` g ) / s ]_ { a e. X_ x e. ( Base ` C ) ( ( r ` x ) ( Hom ` D ) ( s ` x ) ) | A. x e. ( Base ` C ) A. y e. ( Base ` C ) A. z e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. (comp ` D ) ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` z ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` z ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. (comp ` D ) ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } e. ~P ( U. ran ( Hom ` D ) ^m ( Base ` C ) ) ) )
3331, 32mpbid 222 . . . . . . . . 9 |- ( ( 1st ` g ) e. _V -> [_ ( 1st ` g ) / s ]_ { a e. X_ x e. ( Base ` C ) ( ( r ` x ) ( Hom ` D ) ( s ` x ) ) | A. x e. ( Base ` C ) A. y e. ( Base ` C ) A. z e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. (comp ` D ) ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` z ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` z ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. (comp ` D ) ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } e. ~P ( U. ran ( Hom ` D ) ^m ( Base ` C ) ) )
3415, 33ax-mp 5 . . . . . . . 8 |- [_ ( 1st ` g ) / s ]_ { a e. X_ x e. ( Base ` C ) ( ( r ` x ) ( Hom ` D ) ( s ` x ) ) | A. x e. ( Base ` C ) A. y e. ( Base ` C ) A. z e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. (comp ` D ) ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` z ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` z ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. (comp ` D ) ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } e. ~P ( U. ran ( Hom ` D ) ^m ( Base ` C ) )
3534sbcth 3450 . . . . . . 7 |- ( ( 1st ` f ) e. _V -> [. ( 1st ` f ) / r ]. [_ ( 1st ` g ) / s ]_ { a e. X_ x e. ( Base ` C ) ( ( r ` x ) ( Hom ` D ) ( s ` x ) ) | A. x e. ( Base ` C ) A. y e. ( Base ` C ) A. z e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. (comp ` D ) ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` z ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` z ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. (comp ` D ) ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } e. ~P ( U. ran ( Hom ` D ) ^m ( Base ` C ) ) )
36 sbcel1g 3987 . . . . . . 7 |- ( ( 1st ` f ) e. _V -> ( [. ( 1st ` f ) / r ]. [_ ( 1st ` g ) / s ]_ { a e. X_ x e. ( Base ` C ) ( ( r ` x ) ( Hom ` D ) ( s ` x ) ) | A. x e. ( Base ` C ) A. y e. ( Base ` C ) A. z e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. (comp ` D ) ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` z ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` z ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. (comp ` D ) ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } e. ~P ( U. ran ( Hom ` D ) ^m ( Base ` C ) ) <-> [_ ( 1st ` f ) / r ]_ [_ ( 1st ` g ) / s ]_ { a e. X_ x e. ( Base ` C ) ( ( r ` x ) ( Hom ` D ) ( s ` x ) ) | A. x e. ( Base ` C ) A. y e. ( Base ` C ) A. z e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. (comp ` D ) ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` z ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` z ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. (comp ` D ) ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } e. ~P ( U. ran ( Hom ` D ) ^m ( Base ` C ) ) ) )
3735, 36mpbid 222 . . . . . 6 |- ( ( 1st ` f ) e. _V -> [_ ( 1st ` f ) / r ]_ [_ ( 1st ` g ) / s ]_ { a e. X_ x e. ( Base ` C ) ( ( r ` x ) ( Hom ` D ) ( s ` x ) ) | A. x e. ( Base ` C ) A. y e. ( Base ` C ) A. z e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. (comp ` D ) ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` z ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` z ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. (comp ` D ) ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } e. ~P ( U. ran ( Hom ` D ) ^m ( Base ` C ) ) )
3814, 37ax-mp 5 . . . . 5 |- [_ ( 1st ` f ) / r ]_ [_ ( 1st ` g ) / s ]_ { a e. X_ x e. ( Base ` C ) ( ( r ` x ) ( Hom ` D ) ( s ` x ) ) | A. x e. ( Base ` C ) A. y e. ( Base ` C ) A. z e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. (comp ` D ) ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` z ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` z ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. (comp ` D ) ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } e. ~P ( U. ran ( Hom ` D ) ^m ( Base ` C ) )
3938rgen2w 2925 . . . 4 |- A. f e. ( C Func D ) A. g e. ( C Func D ) [_ ( 1st ` f ) / r ]_ [_ ( 1st ` g ) / s ]_ { a e. X_ x e. ( Base ` C ) ( ( r ` x ) ( Hom ` D ) ( s ` x ) ) | A. x e. ( Base ` C ) A. y e. ( Base ` C ) A. z e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. (comp ` D ) ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` z ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` z ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. (comp ` D ) ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } e. ~P ( U. ran ( Hom ` D ) ^m ( Base ` C ) )
40 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( C Nat D ) = ( C Nat D )
41 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( Base ` C ) = ( Base ` C )
42 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( Hom ` C ) = ( Hom ` C )
43 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( Hom ` D ) = ( Hom ` D )
44 eqid 2622 . . . . . 6 |- (comp ` D ) = (comp ` D )
4540, 41, 42, 43, 44natfval 16606 . . . . 5 |- ( C Nat D ) = ( f e. ( C Func D ) , g e. ( C Func D ) |-> [_ ( 1st ` f ) / r ]_ [_ ( 1st ` g ) / s ]_ { a e. X_ x e. ( Base ` C ) ( ( r ` x ) ( Hom ` D ) ( s ` x ) ) | A. x e. ( Base ` C ) A. y e. ( Base ` C ) A. z e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. (comp ` D ) ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` z ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` z ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. (comp ` D ) ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } )
4645fmpt2 7237 . . . 4 |- ( A. f e. ( C Func D ) A. g e. ( C Func D ) [_ ( 1st ` f ) / r ]_ [_ ( 1st ` g ) / s ]_ { a e. X_ x e. ( Base ` C ) ( ( r ` x ) ( Hom ` D ) ( s ` x ) ) | A. x e. ( Base ` C ) A. y e. ( Base ` C ) A. z e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. (comp ` D ) ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` z ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` z ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. (comp ` D ) ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } e. ~P ( U. ran ( Hom ` D ) ^m ( Base ` C ) ) <-> ( C Nat D ) : ( ( C Func D ) X. ( C Func D ) ) --> ~P ( U. ran ( Hom ` D ) ^m ( Base ` C ) ) )
4739, 46mpbi 220 . . 3 |- ( C Nat D ) : ( ( C Func D ) X. ( C Func D ) ) --> ~P ( U. ran ( Hom ` D ) ^m ( Base ` C ) )
4847a1i 11 . 2 |- ( ph -> ( C Nat D ) : ( ( C Func D ) X. ( C Func D ) ) --> ~P ( U. ran ( Hom ` D ) ^m ( Base ` C ) ) )
491, 5, 13, 48wunf 9549 1 |- ( ph -> ( C Nat D ) e. U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   [_csb 3533   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   <.cop 4183   U.cuni 4436   X. cxp 5112   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   ^m cmap 7857   X_cixp 7908  WUnicwun 9522   1c1 9937   4c4 11072  ;cdc 11493   Basecbs 15857   Hom chom 15952  compcco 15953   Func cfunc 16514   Nat cnat 16601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-wun 9524  df-slot 15861  df-base 15863  df-hom 15966  df-func 16518  df-nat 16603
This theorem is referenced by:  catcfuccl  16759
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