Theorem ordtopn1 20998

Description: An upward ray ( P , +oo ) is open. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordttopon.3	|- X = dom R

Assertion

Ref	Expression
ordtopn1	|- ( ( R e. V /\ P e. X ) -> { x e. X | -. x R P } e. (ordTop ` R ) )

Distinct variable groups:   x, P   x, R   x, V   x, X

Proof of Theorem ordtopn1

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordttopon.3	. . . . . . . . 9 |- X = dom R
2		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ran ( y e. X |-> { x e. X | -. x R y } ) = ran ( y e. X |-> { x e. X | -. x R y } )
3		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ran ( y e. X |-> { x e. X | -. y R x } ) = ran ( y e. X |-> { x e. X | -. y R x } )
4	1, 2, 3	ordtuni 20994	. . . . . . . 8 |- ( R e. V -> X = U. ( { X } u. ( ran ( y e. X |-> { x e. X | -. x R y } ) u. ran ( y e. X |-> { x e. X | -. y R x } ) ) ) )
5	4	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( R e. V /\ P e. X ) -> X = U. ( { X } u. ( ran ( y e. X |-> { x e. X | -. x R y } ) u. ran ( y e. X |-> { x e. X | -. y R x } ) ) ) )
6		dmexg 7097	. . . . . . . . 9 |- ( R e. V -> dom R e. _V )
7	1, 6	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 |- ( R e. V -> X e. _V )
8	7	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( R e. V /\ P e. X ) -> X e. _V )
9	5, 8	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ( R e. V /\ P e. X ) -> U. ( { X } u. ( ran ( y e. X |-> { x e. X | -. x R y } ) u. ran ( y e. X |-> { x e. X | -. y R x } ) ) ) e. _V )
10		uniexb 6973	. . . . . 6 |- ( ( { X } u. ( ran ( y e. X |-> { x e. X | -. x R y } ) u. ran ( y e. X |-> { x e. X | -. y R x } ) ) ) e. _V <-> U. ( { X } u. ( ran ( y e. X |-> { x e. X | -. x R y } ) u. ran ( y e. X |-> { x e. X | -. y R x } ) ) ) e. _V )
11	9, 10	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ P e. X ) -> ( { X } u. ( ran ( y e. X |-> { x e. X | -. x R y } ) u. ran ( y e. X |-> { x e. X | -. y R x } ) ) ) e. _V )
12		ssfii 8325	. . . . 5 |- ( ( { X } u. ( ran ( y e. X |-> { x e. X | -. x R y } ) u. ran ( y e. X |-> { x e. X | -. y R x } ) ) ) e. _V -> ( { X } u. ( ran ( y e. X |-> { x e. X | -. x R y } ) u. ran ( y e. X |-> { x e. X | -. y R x } ) ) ) C_ ( fi ` ( { X } u. ( ran ( y e. X |-> { x e. X | -. x R y } ) u. ran ( y e. X |-> { x e. X | -. y R x } ) ) ) ) )
13	11, 12	syl 17	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ P e. X ) -> ( { X } u. ( ran ( y e. X |-> { x e. X | -. x R y } ) u. ran ( y e. X |-> { x e. X | -. y R x } ) ) ) C_ ( fi ` ( { X } u. ( ran ( y e. X |-> { x e. X | -. x R y } ) u. ran ( y e. X |-> { x e. X | -. y R x } ) ) ) ) )
14		fibas 20781	. . . . 5 |- ( fi ` ( { X } u. ( ran ( y e. X |-> { x e. X | -. x R y } ) u. ran ( y e. X |-> { x e. X | -. y R x } ) ) ) ) e. TopBases
15		bastg 20770	. . . . 5 |- ( ( fi ` ( { X } u. ( ran ( y e. X |-> { x e. X | -. x R y } ) u. ran ( y e. X |-> { x e. X | -. y R x } ) ) ) ) e. TopBases -> ( fi ` ( { X } u. ( ran ( y e. X |-> { x e. X | -. x R y } ) u. ran ( y e. X |-> { x e. X | -. y R x } ) ) ) ) C_ ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. ( ran ( y e. X |-> { x e. X | -. x R y } ) u. ran ( y e. X |-> { x e. X | -. y R x } ) ) ) ) ) )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . 4 |- ( fi ` ( { X } u. ( ran ( y e. X |-> { x e. X | -. x R y } ) u. ran ( y e. X |-> { x e. X | -. y R x } ) ) ) ) C_ ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. ( ran ( y e. X |-> { x e. X | -. x R y } ) u. ran ( y e. X |-> { x e. X | -. y R x } ) ) ) ) )
17	13, 16	syl6ss 3615	. . 3 |- ( ( R e. V /\ P e. X ) -> ( { X } u. ( ran ( y e. X |-> { x e. X | -. x R y } ) u. ran ( y e. X |-> { x e. X | -. y R x } ) ) ) C_ ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. ( ran ( y e. X |-> { x e. X | -. x R y } ) u. ran ( y e. X |-> { x e. X | -. y R x } ) ) ) ) ) )
18	1, 2, 3	ordtval 20993	. . . 4 |- ( R e. V -> (ordTop ` R ) = ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. ( ran ( y e. X |-> { x e. X | -. x R y } ) u. ran ( y e. X |-> { x e. X | -. y R x } ) ) ) ) ) )
19	18	adantr 481	. . 3 |- ( ( R e. V /\ P e. X ) -> (ordTop ` R ) = ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. ( ran ( y e. X |-> { x e. X | -. x R y } ) u. ran ( y e. X |-> { x e. X | -. y R x } ) ) ) ) ) )
20	17, 19	sseqtr4d 3642	. 2 |- ( ( R e. V /\ P e. X ) -> ( { X } u. ( ran ( y e. X |-> { x e. X | -. x R y } ) u. ran ( y e. X |-> { x e. X | -. y R x } ) ) ) C_ (ordTop ` R ) )
21		ssun2 3777	. . 3 |- ( ran ( y e. X |-> { x e. X | -. x R y } ) u. ran ( y e. X |-> { x e. X | -. y R x } ) ) C_ ( { X } u. ( ran ( y e. X |-> { x e. X | -. x R y } ) u. ran ( y e. X |-> { x e. X | -. y R x } ) ) )
22		ssun1 3776	. . . 4 |- ran ( y e. X |-> { x e. X | -. x R y } ) C_ ( ran ( y e. X |-> { x e. X | -. x R y } ) u. ran ( y e. X |-> { x e. X | -. y R x } ) )
23		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( R e. V /\ P e. X ) -> P e. X )
24		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ( R e. V /\ P e. X ) -> { x e. X | -. x R P } = { x e. X | -. x R P } )
25		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( y = P -> ( x R y <-> x R P ) )
26	25	notbid 308	. . . . . . . . 9 |- ( y = P -> ( -. x R y <-> -. x R P ) )
27	26	rabbidv 3189	. . . . . . . 8 |- ( y = P -> { x e. X | -. x R y } = { x e. X | -. x R P } )
28	27	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( y = P -> ( { x e. X | -. x R P } = { x e. X | -. x R y } <-> { x e. X | -. x R P } = { x e. X | -. x R P } ) )
29	28	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( P e. X /\ { x e. X | -. x R P } = { x e. X | -. x R P } ) -> E. y e. X { x e. X | -. x R P } = { x e. X | -. x R y } )
30	23, 24, 29	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ P e. X ) -> E. y e. X { x e. X | -. x R P } = { x e. X | -. x R y } )
31		rabexg 4812	. . . . . 6 |- ( X e. _V -> { x e. X | -. x R P } e. _V )
32		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( y e. X |-> { x e. X | -. x R y } ) = ( y e. X |-> { x e. X | -. x R y } )
33	32	elrnmpt 5372	. . . . . 6 |- ( { x e. X | -. x R P } e. _V -> ( { x e. X | -. x R P } e. ran ( y e. X |-> { x e. X | -. x R y } ) <-> E. y e. X { x e. X | -. x R P } = { x e. X | -. x R y } ) )
34	8, 31, 33	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ P e. X ) -> ( { x e. X | -. x R P } e. ran ( y e. X |-> { x e. X | -. x R y } ) <-> E. y e. X { x e. X | -. x R P } = { x e. X | -. x R y } ) )
35	30, 34	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ P e. X ) -> { x e. X | -. x R P } e. ran ( y e. X |-> { x e. X | -. x R y } ) )
36	22, 35	sseldi 3601	. . 3 |- ( ( R e. V /\ P e. X ) -> { x e. X | -. x R P } e. ( ran ( y e. X |-> { x e. X | -. x R y } ) u. ran ( y e. X |-> { x e. X | -. y R x } ) ) )
37	21, 36	sseldi 3601	. 2 |- ( ( R e. V /\ P e. X ) -> { x e. X | -. x R P } e. ( { X } u. ( ran ( y e. X |-> { x e. X | -. x R y } ) u. ran ( y e. X |-> { x e. X | -. y R x } ) ) ) )
38	20, 37	sseldd 3604	1 |- ( ( R e. V /\ P e. X ) -> { x e. X | -. x R P } e. (ordTop ` R ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   ` cfv 5888   ficfi 8316   topGenctg 16098  ordTopcordt 16159   TopBasesctb 20749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-bases 20750

This theorem is referenced by:  ordtopn3  21000  ordtcld1  21001  ordtrest  21006  ordtrest2lem  21007  ordthauslem  21187  ordthmeolem  21604  ordtrestNEW  29967  ordtrest2NEWlem  29968