Theorem ordtbas 20996

Description: In a total order, the finite intersections of the open rays generates the set of open intervals, but no more - these four collections form a subbasis for the order topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordtval.1	|- X = dom R
ordtval.2	|- A = ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } )
ordtval.3	|- B = ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } )
ordtval.4	|- C = ran ( a e. X , b e. X |-> { y e. X | ( -. y R a /\ -. b R y ) } )

Assertion

Ref	Expression
ordtbas	|- ( R e. TosetRel -> ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) = ( ( { X } u. ( A u. B ) ) u. C ) )

Distinct variable groups:   a, b, A   x, a, y, R, b   X, a, b, x, y   B, a, b

Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( x, y)   C( x, y, a, b)

Proof of Theorem ordtbas

Dummy variables m n z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 4908	. . . . . 6 |- { X } e. _V
2		ssun2 3777	. . . . . . 7 |- ( A u. B ) C_ ( { X } u. ( A u. B ) )
3		ordtval.1	. . . . . . . . . 10 |- X = dom R
4		ordtval.2	. . . . . . . . . 10 |- A = ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } )
5		ordtval.3	. . . . . . . . . 10 |- B = ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } )
6	3, 4, 5	ordtuni 20994	. . . . . . . . 9 |- ( R e. TosetRel -> X = U. ( { X } u. ( A u. B ) ) )
7		dmexg 7097	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. TosetRel -> dom R e. _V )
8	3, 7	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 |- ( R e. TosetRel -> X e. _V )
9	6, 8	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( R e. TosetRel -> U. ( { X } u. ( A u. B ) ) e. _V )
10		uniexb 6973	. . . . . . . 8 |- ( ( { X } u. ( A u. B ) ) e. _V <-> U. ( { X } u. ( A u. B ) ) e. _V )
11	9, 10	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( R e. TosetRel -> ( { X } u. ( A u. B ) ) e. _V )
12		ssexg 4804	. . . . . . 7 |- ( ( ( A u. B ) C_ ( { X } u. ( A u. B ) ) /\ ( { X } u. ( A u. B ) ) e. _V ) -> ( A u. B ) e. _V )
13	2, 11, 12	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( R e. TosetRel -> ( A u. B ) e. _V )
14		elfiun 8336	. . . . . 6 |- ( ( { X } e. _V /\ ( A u. B ) e. _V ) -> ( z e. ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) <-> ( z e. ( fi ` { X } ) \/ z e. ( fi ` ( A u. B ) ) \/ E. m e. ( fi ` { X } ) E. n e. ( fi ` ( A u. B ) ) z = ( m i^i n ) ) ) )
15	1, 13, 14	sylancr 695	. . . . 5 |- ( R e. TosetRel -> ( z e. ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) <-> ( z e. ( fi ` { X } ) \/ z e. ( fi ` ( A u. B ) ) \/ E. m e. ( fi ` { X } ) E. n e. ( fi ` ( A u. B ) ) z = ( m i^i n ) ) ) )
16		fisn 8333	. . . . . . . . 9 |- ( fi ` { X } ) = { X }
17		ssun1 3776	. . . . . . . . 9 |- { X } C_ ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) )
18	16, 17	eqsstri 3635	. . . . . . . 8 |- ( fi ` { X } ) C_ ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) )
19	18	sseli 3599	. . . . . . 7 |- ( z e. ( fi ` { X } ) -> z e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) )
20	19	a1i 11	. . . . . 6 |- ( R e. TosetRel -> ( z e. ( fi ` { X } ) -> z e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) ) )
21		ordtval.4	. . . . . . . . 9 |- C = ran ( a e. X , b e. X |-> { y e. X | ( -. y R a /\ -. b R y ) } )
22	3, 4, 5, 21	ordtbas2 20995	. . . . . . . 8 |- ( R e. TosetRel -> ( fi ` ( A u. B ) ) = ( ( A u. B ) u. C ) )
23		ssun2 3777	. . . . . . . 8 |- ( ( A u. B ) u. C ) C_ ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) )
24	22, 23	syl6eqss 3655	. . . . . . 7 |- ( R e. TosetRel -> ( fi ` ( A u. B ) ) C_ ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) )
25	24	sseld 3602	. . . . . 6 |- ( R e. TosetRel -> ( z e. ( fi ` ( A u. B ) ) -> z e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) ) )
26		fipwuni 8332	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( fi ` ( A u. B ) ) C_ ~P U. ( A u. B )
27	26	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( fi ` ( A u. B ) ) -> n e. ~P U. ( A u. B ) )
28	27	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( fi ` ( A u. B ) ) -> n C_ U. ( A u. B ) )
29	28	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> n C_ U. ( A u. B ) )
30	2	unissi 4461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. ( A u. B ) C_ U. ( { X } u. ( A u. B ) )
31	30, 6	syl5sseqr 3654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. TosetRel -> U. ( A u. B ) C_ X )
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> U. ( A u. B ) C_ X )
33	29, 32	sstrd 3613	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> n C_ X )
34		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> m e. ( fi ` { X } ) )
35	34, 16	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> m e. { X } )
36		elsni 4194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. { X } -> m = X )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> m = X )
38	33, 37	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> n C_ m )
39		sseqin2 3817	. . . . . . . . . 10 |- ( n C_ m <-> ( m i^i n ) = n )
40	38, 39	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> ( m i^i n ) = n )
41	24	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. TosetRel /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) -> n e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) )
42	41	adantrl 752	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> n e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) )
43	40, 42	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> ( m i^i n ) e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) )
44		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( z = ( m i^i n ) -> ( z e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) <-> ( m i^i n ) e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) ) )
45	43, 44	syl5ibrcom 237	. . . . . . 7 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> ( z = ( m i^i n ) -> z e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) ) )
46	45	rexlimdvva 3038	. . . . . 6 |- ( R e. TosetRel -> ( E. m e. ( fi ` { X } ) E. n e. ( fi ` ( A u. B ) ) z = ( m i^i n ) -> z e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) ) )
47	20, 25, 46	3jaod 1392	. . . . 5 |- ( R e. TosetRel -> ( ( z e. ( fi ` { X } ) \/ z e. ( fi ` ( A u. B ) ) \/ E. m e. ( fi ` { X } ) E. n e. ( fi ` ( A u. B ) ) z = ( m i^i n ) ) -> z e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) ) )
48	15, 47	sylbid 230	. . . 4 |- ( R e. TosetRel -> ( z e. ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) -> z e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) ) )
49	48	ssrdv 3609	. . 3 |- ( R e. TosetRel -> ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) C_ ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) )
50		ssfii 8325	. . . . . 6 |- ( ( { X } u. ( A u. B ) ) e. _V -> ( { X } u. ( A u. B ) ) C_ ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) )
51	11, 50	syl 17	. . . . 5 |- ( R e. TosetRel -> ( { X } u. ( A u. B ) ) C_ ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) )
52	51	unssad 3790	. . . 4 |- ( R e. TosetRel -> { X } C_ ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) )
53		fiss 8330	. . . . . 6 |- ( ( ( { X } u. ( A u. B ) ) e. _V /\ ( A u. B ) C_ ( { X } u. ( A u. B ) ) ) -> ( fi ` ( A u. B ) ) C_ ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) )
54	11, 2, 53	sylancl 694	. . . . 5 |- ( R e. TosetRel -> ( fi ` ( A u. B ) ) C_ ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) )
55	22, 54	eqsstr3d 3640	. . . 4 |- ( R e. TosetRel -> ( ( A u. B ) u. C ) C_ ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) )
56	52, 55	unssd 3789	. . 3 |- ( R e. TosetRel -> ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) C_ ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) )
57	49, 56	eqssd 3620	. 2 |- ( R e. TosetRel -> ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) = ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) )
58		unass 3770	. 2 |- ( ( { X } u. ( A u. B ) ) u. C ) = ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) )
59	57, 58	syl6eqr 2674	1 |- ( R e. TosetRel -> ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) = ( ( { X } u. ( A u. B ) ) u. C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   \/ w3o 1036   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   ` cfv 5888   |-> cmpt2 6652   ficfi 8316   TosetRel ctsr 17199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-ps 17200  df-tsr 17201

This theorem is referenced by: (None)