MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordttopon Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem ordttopon 20997
Description: Value of the order topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ordttopon.3 |- X = dom R
Assertion
Ref Expression
ordttopon |- ( R e. V -> (ordTop ` R ) e. (TopOn ` X ) )
Proof of Theorem ordttopon
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordttopon.3 . . . 4 |- X = dom R
2 eqid 2622 . . . 4 |- ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) = ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } )
3 eqid 2622 . . . 4 |- ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) = ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } )
41, 2, 3ordtval 20993 . . 3 |- ( R e. V -> (ordTop ` R ) = ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. ( ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) u. ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) ) ) ) ) )
5 fibas 20781 . . . 4 |- ( fi ` ( { X } u. ( ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) u. ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) ) ) ) e. TopBases
6 tgtopon 20775 . . . 4 |- ( ( fi ` ( { X } u. ( ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) u. ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) ) ) ) e. TopBases -> ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. ( ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) u. ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) ) ) ) ) e. (TopOn ` U. ( fi ` ( { X } u. ( ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) u. ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) ) ) ) ) )
75, 6ax-mp 5 . . 3 |- ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. ( ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) u. ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) ) ) ) ) e. (TopOn ` U. ( fi ` ( { X } u. ( ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) u. ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) ) ) ) )
84, 7syl6eqel 2709 . 2 |- ( R e. V -> (ordTop ` R ) e. (TopOn ` U. ( fi ` ( { X } u. ( ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) u. ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) ) ) ) ) )
91, 2, 3ordtuni 20994 . . . 4 |- ( R e. V -> X = U. ( { X } u. ( ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) u. ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) ) ) )
10 dmexg 7097 . . . . . . . 8 |- ( R e. V -> dom R e. _V )
111, 10syl5eqel 2705 . . . . . . 7 |- ( R e. V -> X e. _V )
129, 11eqeltrrd 2702 . . . . . 6 |- ( R e. V -> U. ( { X } u. ( ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) u. ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) ) ) e. _V )
13 uniexb 6973 . . . . . 6 |- ( ( { X } u. ( ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) u. ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) ) ) e. _V <-> U. ( { X } u. ( ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) u. ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) ) ) e. _V )
1412, 13sylibr 224 . . . . 5 |- ( R e. V -> ( { X } u. ( ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) u. ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) ) ) e. _V )
15 fiuni 8334 . . . . 5 |- ( ( { X } u. ( ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) u. ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) ) ) e. _V -> U. ( { X } u. ( ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) u. ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) ) ) = U. ( fi ` ( { X } u. ( ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) u. ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) ) ) ) )
1614, 15syl 17 . . . 4 |- ( R e. V -> U. ( { X } u. ( ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) u. ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) ) ) = U. ( fi ` ( { X } u. ( ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) u. ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) ) ) ) )
179, 16eqtrd 2656 . . 3 |- ( R e. V -> X = U. ( fi ` ( { X } u. ( ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) u. ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) ) ) ) )
1817fveq2d 6195 . 2 |- ( R e. V -> (TopOn ` X ) = (TopOn ` U. ( fi ` ( { X } u. ( ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) u. ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) ) ) ) ) )
198, 18eleqtrrd 2704 1 |- ( R e. V -> (ordTop ` R ) e. (TopOn ` X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   u. cun 3572   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   ` cfv 5888   ficfi 8316   topGenctg 16098  ordTopcordt 16159  TopOnctopon 20715   TopBasesctb 20749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750
This theorem is referenced by:  ordtopn3  21000  ordtcld1  21001  ordtcld2  21002  ordttop  21004  ordtrest  21006  ordtrest2lem  21007  ordtrest2  21008  letopon  21009  ordtt1  21183  ordthaus  21188  ordthmeolem  21604  ordtrestNEW  29967  ordtrest2NEWlem  29968  ordtrest2NEW  29969  ordtconnlem1  29970
  Copyright terms: Public domain W3C validator