Theorem ordtbas2 20995

Description: Lemma for ordtbas 20996. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordtval.1	|- X = dom R
ordtval.2	|- A = ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } )
ordtval.3	|- B = ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } )
ordtval.4	|- C = ran ( a e. X , b e. X |-> { y e. X | ( -. y R a /\ -. b R y ) } )

Assertion

Ref	Expression
ordtbas2	|- ( R e. TosetRel -> ( fi ` ( A u. B ) ) = ( ( A u. B ) u. C ) )

Distinct variable groups:   a, b, A   x, a, y, R, b   X, a, b, x, y   B, a, b

Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( x, y)   C( x, y, a, b)

Proof of Theorem ordtbas2

Dummy variables m n z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun1 3776	. . . . . 6 |- A C_ ( A u. B )
2		ssun2 3777	. . . . . . 7 |- ( A u. B ) C_ ( { X } u. ( A u. B ) )
3		ordtval.1	. . . . . . . . . 10 |- X = dom R
4		ordtval.2	. . . . . . . . . 10 |- A = ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } )
5		ordtval.3	. . . . . . . . . 10 |- B = ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } )
6	3, 4, 5	ordtuni 20994	. . . . . . . . 9 |- ( R e. TosetRel -> X = U. ( { X } u. ( A u. B ) ) )
7		dmexg 7097	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. TosetRel -> dom R e. _V )
8	3, 7	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 |- ( R e. TosetRel -> X e. _V )
9	6, 8	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( R e. TosetRel -> U. ( { X } u. ( A u. B ) ) e. _V )
10		uniexb 6973	. . . . . . . 8 |- ( ( { X } u. ( A u. B ) ) e. _V <-> U. ( { X } u. ( A u. B ) ) e. _V )
11	9, 10	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( R e. TosetRel -> ( { X } u. ( A u. B ) ) e. _V )
12		ssexg 4804	. . . . . . 7 |- ( ( ( A u. B ) C_ ( { X } u. ( A u. B ) ) /\ ( { X } u. ( A u. B ) ) e. _V ) -> ( A u. B ) e. _V )
13	2, 11, 12	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( R e. TosetRel -> ( A u. B ) e. _V )
14		ssexg 4804	. . . . . 6 |- ( ( A C_ ( A u. B ) /\ ( A u. B ) e. _V ) -> A e. _V )
15	1, 13, 14	sylancr 695	. . . . 5 |- ( R e. TosetRel -> A e. _V )
16		ssun2 3777	. . . . . 6 |- B C_ ( A u. B )
17		ssexg 4804	. . . . . 6 |- ( ( B C_ ( A u. B ) /\ ( A u. B ) e. _V ) -> B e. _V )
18	16, 13, 17	sylancr 695	. . . . 5 |- ( R e. TosetRel -> B e. _V )
19		elfiun 8336	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( z e. ( fi ` ( A u. B ) ) <-> ( z e. ( fi ` A ) \/ z e. ( fi ` B ) \/ E. m e. ( fi ` A ) E. n e. ( fi ` B ) z = ( m i^i n ) ) ) )
20	15, 18, 19	syl2anc 693	. . . 4 |- ( R e. TosetRel -> ( z e. ( fi ` ( A u. B ) ) <-> ( z e. ( fi ` A ) \/ z e. ( fi ` B ) \/ E. m e. ( fi ` A ) E. n e. ( fi ` B ) z = ( m i^i n ) ) ) )
21	3, 4	ordtbaslem 20992	. . . . . . . 8 |- ( R e. TosetRel -> ( fi ` A ) = A )
22	21, 1	syl6eqss 3655	. . . . . . 7 |- ( R e. TosetRel -> ( fi ` A ) C_ ( A u. B ) )
23		ssun1 3776	. . . . . . 7 |- ( A u. B ) C_ ( ( A u. B ) u. C )
24	22, 23	syl6ss 3615	. . . . . 6 |- ( R e. TosetRel -> ( fi ` A ) C_ ( ( A u. B ) u. C ) )
25	24	sseld 3602	. . . . 5 |- ( R e. TosetRel -> ( z e. ( fi ` A ) -> z e. ( ( A u. B ) u. C ) ) )
26		cnvtsr 17222	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. TosetRel -> `' R e. TosetRel )
27		df-rn 5125	. . . . . . . . . . 11 |- ran R = dom `' R
28		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( x e. ran R |-> { y e. ran R | -. y `' R x } ) = ran ( x e. ran R |-> { y e. ran R | -. y `' R x } )
29	27, 28	ordtbaslem 20992	. . . . . . . . . 10 |- ( `' R e. TosetRel -> ( fi ` ran ( x e. ran R |-> { y e. ran R | -. y `' R x } ) ) = ran ( x e. ran R |-> { y e. ran R | -. y `' R x } ) )
30	26, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( R e. TosetRel -> ( fi ` ran ( x e. ran R |-> { y e. ran R | -. y `' R x } ) ) = ran ( x e. ran R |-> { y e. ran R | -. y `' R x } ) )
31		tsrps 17221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. TosetRel -> R e. PosetRel )
32	3	psrn 17209	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. PosetRel -> X = ran R )
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. TosetRel -> X = ran R )
34		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- y e. _V
35		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- x e. _V
36	34, 35	brcnv 5305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y `' R x <-> x R y )
37	36	bicomi 214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x R y <-> y `' R x )
38	37	notbii 310	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. x R y <-> -. y `' R x )
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. TosetRel -> ( -. x R y <-> -. y `' R x ) )
40	33, 39	rabeqbidv 3195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. TosetRel -> { y e. X | -. x R y } = { y e. ran R | -. y `' R x } )
41	33, 40	mpteq12dv 4733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. TosetRel -> ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) = ( x e. ran R |-> { y e. ran R | -. y `' R x } ) )
42	41	rneqd 5353	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. TosetRel -> ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) = ran ( x e. ran R |-> { y e. ran R | -. y `' R x } ) )
43	5, 42	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. TosetRel -> B = ran ( x e. ran R |-> { y e. ran R | -. y `' R x } ) )
44	43	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( R e. TosetRel -> ( fi ` B ) = ( fi ` ran ( x e. ran R |-> { y e. ran R | -. y `' R x } ) ) )
45	30, 44, 43	3eqtr4d 2666	. . . . . . . 8 |- ( R e. TosetRel -> ( fi ` B ) = B )
46	45, 16	syl6eqss 3655	. . . . . . 7 |- ( R e. TosetRel -> ( fi ` B ) C_ ( A u. B ) )
47	46, 23	syl6ss 3615	. . . . . 6 |- ( R e. TosetRel -> ( fi ` B ) C_ ( ( A u. B ) u. C ) )
48	47	sseld 3602	. . . . 5 |- ( R e. TosetRel -> ( z e. ( fi ` B ) -> z e. ( ( A u. B ) u. C ) ) )
49		ssun2 3777	. . . . . . . 8 |- C C_ ( ( A u. B ) u. C )
50	21, 4	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. TosetRel -> ( fi ` A ) = ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) )
51	50	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. TosetRel -> ( m e. ( fi ` A ) <-> m e. ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) ) )
52		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- m e. _V
53		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = a -> ( y R x <-> y R a ) )
54	53	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = a -> ( -. y R x <-> -. y R a ) )
55	54	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> { y e. X | -. y R x } = { y e. X | -. y R a } )
56	55	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) = ( a e. X |-> { y e. X | -. y R a } )
57	56	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. _V -> ( m e. ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) <-> E. a e. X m = { y e. X | -. y R a } ) )
58	52, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) <-> E. a e. X m = { y e. X | -. y R a } )
59	51, 58	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. TosetRel -> ( m e. ( fi ` A ) <-> E. a e. X m = { y e. X | -. y R a } ) )
60	45, 5	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. TosetRel -> ( fi ` B ) = ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) )
61	60	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. TosetRel -> ( n e. ( fi ` B ) <-> n e. ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) ) )
62		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- n e. _V
63		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = b -> ( x R y <-> b R y ) )
64	63	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = b -> ( -. x R y <-> -. b R y ) )
65	64	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = b -> { y e. X | -. x R y } = { y e. X | -. b R y } )
66	65	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) = ( b e. X |-> { y e. X | -. b R y } )
67	66	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. _V -> ( n e. ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) <-> E. b e. X n = { y e. X | -. b R y } ) )
68	62, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) <-> E. b e. X n = { y e. X | -. b R y } )
69	61, 68	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. TosetRel -> ( n e. ( fi ` B ) <-> E. b e. X n = { y e. X | -. b R y } ) )
70	59, 69	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. TosetRel -> ( ( m e. ( fi ` A ) /\ n e. ( fi ` B ) ) <-> ( E. a e. X m = { y e. X | -. y R a } /\ E. b e. X n = { y e. X | -. b R y } ) ) )
71		reeanv 3107	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. a e. X E. b e. X ( m = { y e. X | -. y R a } /\ n = { y e. X | -. b R y } ) <-> ( E. a e. X m = { y e. X | -. y R a } /\ E. b e. X n = { y e. X | -. b R y } ) )
72		ineq12 3809	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m = { y e. X | -. y R a } /\ n = { y e. X | -. b R y } ) -> ( m i^i n ) = ( { y e. X | -. y R a } i^i { y e. X | -. b R y } ) )
73		inrab 3899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { y e. X | -. y R a } i^i { y e. X | -. b R y } ) = { y e. X | ( -. y R a /\ -. b R y ) }
74	72, 73	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m = { y e. X | -. y R a } /\ n = { y e. X | -. b R y } ) -> ( m i^i n ) = { y e. X | ( -. y R a /\ -. b R y ) } )
75	74	reximi 3011	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. b e. X ( m = { y e. X | -. y R a } /\ n = { y e. X | -. b R y } ) -> E. b e. X ( m i^i n ) = { y e. X | ( -. y R a /\ -. b R y ) } )
76	75	reximi 3011	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. a e. X E. b e. X ( m = { y e. X | -. y R a } /\ n = { y e. X | -. b R y } ) -> E. a e. X E. b e. X ( m i^i n ) = { y e. X | ( -. y R a /\ -. b R y ) } )
77	71, 76	sylbir 225	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E. a e. X m = { y e. X | -. y R a } /\ E. b e. X n = { y e. X | -. b R y } ) -> E. a e. X E. b e. X ( m i^i n ) = { y e. X | ( -. y R a /\ -. b R y ) } )
78	70, 77	syl6bi 243	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. TosetRel -> ( ( m e. ( fi ` A ) /\ n e. ( fi ` B ) ) -> E. a e. X E. b e. X ( m i^i n ) = { y e. X | ( -. y R a /\ -. b R y ) } ) )
79	78	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` A ) /\ n e. ( fi ` B ) ) ) -> E. a e. X E. b e. X ( m i^i n ) = { y e. X | ( -. y R a /\ -. b R y ) } )
80	52	inex1 4799	. . . . . . . . . . 11 |- ( m i^i n ) e. _V
81		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. X , b e. X |-> { y e. X | ( -. y R a /\ -. b R y ) } ) = ( a e. X , b e. X |-> { y e. X | ( -. y R a /\ -. b R y ) } )
82	81	elrnmpt2g 6772	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m i^i n ) e. _V -> ( ( m i^i n ) e. ran ( a e. X , b e. X |-> { y e. X | ( -. y R a /\ -. b R y ) } ) <-> E. a e. X E. b e. X ( m i^i n ) = { y e. X | ( -. y R a /\ -. b R y ) } ) )
83	80, 82	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m i^i n ) e. ran ( a e. X , b e. X |-> { y e. X | ( -. y R a /\ -. b R y ) } ) <-> E. a e. X E. b e. X ( m i^i n ) = { y e. X | ( -. y R a /\ -. b R y ) } )
84	79, 83	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` A ) /\ n e. ( fi ` B ) ) ) -> ( m i^i n ) e. ran ( a e. X , b e. X |-> { y e. X | ( -. y R a /\ -. b R y ) } ) )
85		ordtval.4	. . . . . . . . 9 |- C = ran ( a e. X , b e. X |-> { y e. X | ( -. y R a /\ -. b R y ) } )
86	84, 85	syl6eleqr 2712	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` A ) /\ n e. ( fi ` B ) ) ) -> ( m i^i n ) e. C )
87	49, 86	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` A ) /\ n e. ( fi ` B ) ) ) -> ( m i^i n ) e. ( ( A u. B ) u. C ) )
88		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( z = ( m i^i n ) -> ( z e. ( ( A u. B ) u. C ) <-> ( m i^i n ) e. ( ( A u. B ) u. C ) ) )
89	87, 88	syl5ibrcom 237	. . . . . 6 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` A ) /\ n e. ( fi ` B ) ) ) -> ( z = ( m i^i n ) -> z e. ( ( A u. B ) u. C ) ) )
90	89	rexlimdvva 3038	. . . . 5 |- ( R e. TosetRel -> ( E. m e. ( fi ` A ) E. n e. ( fi ` B ) z = ( m i^i n ) -> z e. ( ( A u. B ) u. C ) ) )
91	25, 48, 90	3jaod 1392	. . . 4 |- ( R e. TosetRel -> ( ( z e. ( fi ` A ) \/ z e. ( fi ` B ) \/ E. m e. ( fi ` A ) E. n e. ( fi ` B ) z = ( m i^i n ) ) -> z e. ( ( A u. B ) u. C ) ) )
92	20, 91	sylbid 230	. . 3 |- ( R e. TosetRel -> ( z e. ( fi ` ( A u. B ) ) -> z e. ( ( A u. B ) u. C ) ) )
93	92	ssrdv 3609	. 2 |- ( R e. TosetRel -> ( fi ` ( A u. B ) ) C_ ( ( A u. B ) u. C ) )
94		ssfii 8325	. . . 4 |- ( ( A u. B ) e. _V -> ( A u. B ) C_ ( fi ` ( A u. B ) ) )
95	13, 94	syl 17	. . 3 |- ( R e. TosetRel -> ( A u. B ) C_ ( fi ` ( A u. B ) ) )
96	95	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( A u. B ) C_ ( fi ` ( A u. B ) ) )
97		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> a e. X )
98		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> { y e. X | -. y R a } = { y e. X | -. y R a } )
99	55	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> ( { y e. X | -. y R a } = { y e. X | -. y R x } <-> { y e. X | -. y R a } = { y e. X | -. y R a } ) )
100	99	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. X /\ { y e. X | -. y R a } = { y e. X | -. y R a } ) -> E. x e. X { y e. X | -. y R a } = { y e. X | -. y R x } )
101	97, 98, 100	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> E. x e. X { y e. X | -. y R a } = { y e. X | -. y R x } )
102	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> X e. _V )
103		rabexg 4812	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. _V -> { y e. X | -. y R a } e. _V )
104		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) = ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } )
105	104	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { y e. X | -. y R a } e. _V -> ( { y e. X | -. y R a } e. ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) <-> E. x e. X { y e. X | -. y R a } = { y e. X | -. y R x } ) )
106	102, 103, 105	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( { y e. X | -. y R a } e. ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) <-> E. x e. X { y e. X | -. y R a } = { y e. X | -. y R x } ) )
107	101, 106	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> { y e. X | -. y R a } e. ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) )
108	107, 4	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> { y e. X | -. y R a } e. A )
109	1, 108	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> { y e. X | -. y R a } e. ( A u. B ) )
110	96, 109	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> { y e. X | -. y R a } e. ( fi ` ( A u. B ) ) )
111		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> b e. X )
112		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> { y e. X | -. b R y } = { y e. X | -. b R y } )
113	65	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = b -> ( { y e. X | -. b R y } = { y e. X | -. x R y } <-> { y e. X | -. b R y } = { y e. X | -. b R y } ) )
114	113	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. X /\ { y e. X | -. b R y } = { y e. X | -. b R y } ) -> E. x e. X { y e. X | -. b R y } = { y e. X | -. x R y } )
115	111, 112, 114	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> E. x e. X { y e. X | -. b R y } = { y e. X | -. x R y } )
116		rabexg 4812	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. _V -> { y e. X | -. b R y } e. _V )
117		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) = ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } )
118	117	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { y e. X | -. b R y } e. _V -> ( { y e. X | -. b R y } e. ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) <-> E. x e. X { y e. X | -. b R y } = { y e. X | -. x R y } ) )
119	102, 116, 118	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( { y e. X | -. b R y } e. ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) <-> E. x e. X { y e. X | -. b R y } = { y e. X | -. x R y } ) )
120	115, 119	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> { y e. X | -. b R y } e. ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) )
121	120, 5	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> { y e. X | -. b R y } e. B )
122	16, 121	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> { y e. X | -. b R y } e. ( A u. B ) )
123	96, 122	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> { y e. X | -. b R y } e. ( fi ` ( A u. B ) ) )
124		fiin 8328	. . . . . . . . 9 |- ( ( { y e. X | -. y R a } e. ( fi ` ( A u. B ) ) /\ { y e. X | -. b R y } e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) -> ( { y e. X | -. y R a } i^i { y e. X | -. b R y } ) e. ( fi ` ( A u. B ) ) )
125	110, 123, 124	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( { y e. X | -. y R a } i^i { y e. X | -. b R y } ) e. ( fi ` ( A u. B ) ) )
126	73, 125	syl5eqelr 2706	. . . . . . 7 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> { y e. X | ( -. y R a /\ -. b R y ) } e. ( fi ` ( A u. B ) ) )
127	126	ralrimivva 2971	. . . . . 6 |- ( R e. TosetRel -> A. a e. X A. b e. X { y e. X | ( -. y R a /\ -. b R y ) } e. ( fi ` ( A u. B ) ) )
128	81	fmpt2 7237	. . . . . 6 |- ( A. a e. X A. b e. X { y e. X | ( -. y R a /\ -. b R y ) } e. ( fi ` ( A u. B ) ) <-> ( a e. X , b e. X |-> { y e. X | ( -. y R a /\ -. b R y ) } ) : ( X X. X ) --> ( fi ` ( A u. B ) ) )
129	127, 128	sylib 208	. . . . 5 |- ( R e. TosetRel -> ( a e. X , b e. X |-> { y e. X | ( -. y R a /\ -. b R y ) } ) : ( X X. X ) --> ( fi ` ( A u. B ) ) )
130		frn 6053	. . . . 5 |- ( ( a e. X , b e. X |-> { y e. X | ( -. y R a /\ -. b R y ) } ) : ( X X. X ) --> ( fi ` ( A u. B ) ) -> ran ( a e. X , b e. X |-> { y e. X | ( -. y R a /\ -. b R y ) } ) C_ ( fi ` ( A u. B ) ) )
131	129, 130	syl 17	. . . 4 |- ( R e. TosetRel -> ran ( a e. X , b e. X |-> { y e. X | ( -. y R a /\ -. b R y ) } ) C_ ( fi ` ( A u. B ) ) )
132	85, 131	syl5eqss 3649	. . 3 |- ( R e. TosetRel -> C C_ ( fi ` ( A u. B ) ) )
133	95, 132	unssd 3789	. 2 |- ( R e. TosetRel -> ( ( A u. B ) u. C ) C_ ( fi ` ( A u. B ) ) )
134	93, 133	eqssd 3620	1 |- ( R e. TosetRel -> ( fi ` ( A u. B ) ) = ( ( A u. B ) u. C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   \/ w3o 1036   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888   |-> cmpt2 6652   ficfi 8316   PosetRelcps 17198   TosetRel ctsr 17199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-ps 17200  df-tsr 17201

This theorem is referenced by:  ordtbas  20996  leordtval  21017