Theorem ordunisuc2 7044

Description: An ordinal equal to its union contains the successor of each of its members. (Contributed by NM, 1-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ordunisuc2	|- ( Ord A -> ( A = U. A <-> A. x e. A suc x e. A ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem ordunisuc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orduninsuc 7043	. 2 |- ( Ord A -> ( A = U. A <-> -. E. x e. On A = suc x ) )
2		ralnex 2992	. . 3 |- ( A. x e. On -. A = suc x <-> -. E. x e. On A = suc x )
3		suceloni 7013	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. On -> suc x e. On )
4		eloni 5733	. . . . . . . . . 10 |- ( suc x e. On -> Ord suc x )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( x e. On -> Ord suc x )
6		ordtri3 5759	. . . . . . . . 9 |- ( ( Ord A /\ Ord suc x ) -> ( A = suc x <-> -. ( A e. suc x \/ suc x e. A ) ) )
7	5, 6	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( A = suc x <-> -. ( A e. suc x \/ suc x e. A ) ) )
8	7	con2bid 344	. . . . . . 7 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( ( A e. suc x \/ suc x e. A ) <-> -. A = suc x ) )
9		onnbtwn 5818	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. On -> -. ( x e. A /\ A e. suc x ) )
10		imnan 438	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A -> -. A e. suc x ) <-> -. ( x e. A /\ A e. suc x ) )
11	9, 10	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. On -> ( x e. A -> -. A e. suc x ) )
12	11	con2d 129	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. On -> ( A e. suc x -> -. x e. A ) )
13		pm2.21 120	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x e. A -> ( x e. A -> suc x e. A ) )
14	12, 13	syl6 35	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. On -> ( A e. suc x -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
15	14	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( A e. suc x -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
16		ax-1 6	. . . . . . . . . 10 |- ( suc x e. A -> ( x e. A -> suc x e. A ) )
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( suc x e. A -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
18	15, 17	jaod 395	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( ( A e. suc x \/ suc x e. A ) -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
19		eloni 5733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. On -> Ord x )
20		ordtri2or 5822	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Ord x /\ Ord A ) -> ( x e. A \/ A C_ x ) )
21	19, 20	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. On /\ Ord A ) -> ( x e. A \/ A C_ x ) )
22	21	ancoms 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( x e. A \/ A C_ x ) )
23	22	orcomd 403	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( A C_ x \/ x e. A ) )
24	23	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Ord A /\ x e. On ) /\ ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( A C_ x \/ x e. A ) )
25		ordsssuc2 5814	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( A C_ x <-> A e. suc x ) )
26	25	biimpd 219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( A C_ x -> A e. suc x ) )
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Ord A /\ x e. On ) /\ ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( A C_ x -> A e. suc x ) )
28		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Ord A /\ x e. On ) /\ ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( x e. A -> suc x e. A ) )
29	27, 28	orim12d 883	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Ord A /\ x e. On ) /\ ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( ( A C_ x \/ x e. A ) -> ( A e. suc x \/ suc x e. A ) ) )
30	24, 29	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Ord A /\ x e. On ) /\ ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( A e. suc x \/ suc x e. A ) )
31	30	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( ( x e. A -> suc x e. A ) -> ( A e. suc x \/ suc x e. A ) ) )
32	18, 31	impbid 202	. . . . . . 7 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( ( A e. suc x \/ suc x e. A ) <-> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
33	8, 32	bitr3d 270	. . . . . 6 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( -. A = suc x <-> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
34	33	pm5.74da 723	. . . . 5 |- ( Ord A -> ( ( x e. On -> -. A = suc x ) <-> ( x e. On -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) ) )
35		impexp 462	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. On /\ x e. A ) -> suc x e. A ) <-> ( x e. On -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
36		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. On /\ x e. A ) -> x e. A )
37		ordelon 5747	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Ord A /\ x e. A ) -> x e. On )
38	37	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( Ord A -> ( x e. A -> x e. On ) )
39	38	ancrd 577	. . . . . . . 8 |- ( Ord A -> ( x e. A -> ( x e. On /\ x e. A ) ) )
40	36, 39	impbid2 216	. . . . . . 7 |- ( Ord A -> ( ( x e. On /\ x e. A ) <-> x e. A ) )
41	40	imbi1d 331	. . . . . 6 |- ( Ord A -> ( ( ( x e. On /\ x e. A ) -> suc x e. A ) <-> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
42	35, 41	syl5bbr 274	. . . . 5 |- ( Ord A -> ( ( x e. On -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) <-> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
43	34, 42	bitrd 268	. . . 4 |- ( Ord A -> ( ( x e. On -> -. A = suc x ) <-> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
44	43	ralbidv2 2984	. . 3 |- ( Ord A -> ( A. x e. On -. A = suc x <-> A. x e. A suc x e. A ) )
45	2, 44	syl5bbr 274	. 2 |- ( Ord A -> ( -. E. x e. On A = suc x <-> A. x e. A suc x e. A ) )
46	1, 45	bitrd 268	1 |- ( Ord A -> ( A = U. A <-> A. x e. A suc x e. A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   U.cuni 4436   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729

This theorem is referenced by:  dflim4  7048  limsuc2  37611