Theorem ovnval 40755

Description: Value of the Lebesgue outer measure for a given finite dimension. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovnval.1	|- ( ph -> X e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
ovnval	|- ( ph -> (voln* ` X ) = ( y e. ~P ( RR ^m X ) |-> if ( X = (/) , 0 , inf ( { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } , RR* , < ) ) ) )

Distinct variable group:   i, X, j, k, y, z

Allowed substitution hints:   ph( y, z, i, j, k)

Proof of Theorem ovnval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ovoln 40751	. . 3 |- voln* = ( x e. Fin |-> ( y e. ~P ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , inf ( { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m x ) ^m NN ) ( y C_ U_ j e. NN X_ k e. x ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. x ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } , RR* , < ) ) ) )
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ph -> voln* = ( x e. Fin |-> ( y e. ~P ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , inf ( { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m x ) ^m NN ) ( y C_ U_ j e. NN X_ k e. x ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. x ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } , RR* , < ) ) ) ) )
3		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( x = X -> ( RR ^m x ) = ( RR ^m X ) )
4	3	pweqd 4163	. . . 4 |- ( x = X -> ~P ( RR ^m x ) = ~P ( RR ^m X ) )
5		eqeq1 2626	. . . . 5 |- ( x = X -> ( x = (/) <-> X = (/) ) )
6		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( ( RR X. RR ) ^m x ) = ( ( RR X. RR ) ^m X ) )
7	6	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( ( ( RR X. RR ) ^m x ) ^m NN ) = ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) )
8		ixpeq1 7919	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = X -> X_ k e. x ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) )
9	8	iuneq2d 4547	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> U_ j e. NN X_ k e. x ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) )
10	9	sseq2d 3633	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( y C_ U_ j e. NN X_ k e. x ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) <-> y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) )
11		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = X /\ j e. NN ) -> x = X )
12	11	prodeq1d 14651	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = X /\ j e. NN ) -> prod_ k e. x ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) )
13	12	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = X -> ( j e. NN |-> prod_ k e. x ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) = ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) )
14	13	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. x ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
15	14	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. x ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) <-> z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
16	10, 15	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( ( y C_ U_ j e. NN X_ k e. x ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. x ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) <-> ( y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
17	7, 16	rexeqbidv 3153	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m x ) ^m NN ) ( y C_ U_ j e. NN X_ k e. x ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. x ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) <-> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
18	17	rabbidv 3189	. . . . . 6 |- ( x = X -> { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m x ) ^m NN ) ( y C_ U_ j e. NN X_ k e. x ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. x ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } = { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } )
19	18	infeq1d 8383	. . . . 5 |- ( x = X -> inf ( { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m x ) ^m NN ) ( y C_ U_ j e. NN X_ k e. x ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. x ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } , RR* , < ) = inf ( { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } , RR* , < ) )
20	5, 19	ifbieq2d 4111	. . . 4 |- ( x = X -> if ( x = (/) , 0 , inf ( { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m x ) ^m NN ) ( y C_ U_ j e. NN X_ k e. x ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. x ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } , RR* , < ) ) = if ( X = (/) , 0 , inf ( { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } , RR* , < ) ) )
21	4, 20	mpteq12dv 4733	. . 3 |- ( x = X -> ( y e. ~P ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , inf ( { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m x ) ^m NN ) ( y C_ U_ j e. NN X_ k e. x ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. x ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } , RR* , < ) ) ) = ( y e. ~P ( RR ^m X ) |-> if ( X = (/) , 0 , inf ( { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } , RR* , < ) ) ) )
22	21	adantl 482	. 2 |- ( ( ph /\ x = X ) -> ( y e. ~P ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , inf ( { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m x ) ^m NN ) ( y C_ U_ j e. NN X_ k e. x ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. x ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } , RR* , < ) ) ) = ( y e. ~P ( RR ^m X ) |-> if ( X = (/) , 0 , inf ( { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } , RR* , < ) ) ) )
23		ovnval.1	. 2 |- ( ph -> X e. Fin )
24		ovex 6678	. . . . 5 |- ( RR ^m X ) e. _V
25	24	pwex 4848	. . . 4 |- ~P ( RR ^m X ) e. _V
26	25	mptex 6486	. . 3 |- ( y e. ~P ( RR ^m X ) |-> if ( X = (/) , 0 , inf ( { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } , RR* , < ) ) ) e. _V
27	26	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( y e. ~P ( RR ^m X ) |-> if ( X = (/) , 0 , inf ( { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } , RR* , < ) ) ) e. _V )
28	2, 22, 23, 27	fvmptd 6288	1 |- ( ph -> (voln* ` X ) = ( y e. ~P ( RR ^m X ) |-> if ( X = (/) , 0 , inf ( { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } , RR* , < ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   U_ciun 4520   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   X_cixp 7908   Fincfn 7955  infcinf 8347   RRcr 9935   0cc0 9936   RR*cxr 10073   < clt 10074   NNcn 11020   [,)cico 12177   prod_cprod 14635   volcvol 23232  Σ^{^}csumge0 40579  voln^*covoln 40750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-ixp 7909  df-sup 8348  df-inf 8349  df-seq 12802  df-prod 14636  df-ovoln 40751

This theorem is referenced by:  ovnval2  40759  ovnf  40777