Theorem prodeq1d 14651

Description: Equality deduction for product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
prodeq1d.1	|- ( ph -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
prodeq1d	|- ( ph -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, k   B, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   C( k)

Proof of Theorem prodeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1d.1	. 2 |- ( ph -> A = B )
2		prodeq1 14639	. 2 |- ( A = B -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )
3	1, 2	syl 17	1 |- ( ph -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   prod_cprod 14635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-iota 5851  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seq 12802  df-prod 14636

This theorem is referenced by:  prodeq12dv  14656  prodeq12rdv  14657  fprodf1o  14676  prodss  14677  fprod1  14693  fprodp1  14699  fprodfac  14703  fprodabs  14704  fprod2d  14711  fprodcom2  14714  fprodcom2OLD  14715  risefacval  14739  fallfacval  14740  risefacval2  14741  fallfacval2  14742  risefacp1  14760  fallfacp1  14761  fallfacval4  14774  fprodefsum  14825  prmoval  15737  prmop1  15742  prmgapprmo  15766  gausslemma2dlem4  25094  breprexplema  30708  breprexplemc  30710  breprexp  30711  circlemethhgt  30721  bcprod  31624  dvmptfprodlem  40159  dvmptfprod  40160  ovnval  40755  hoiprodp1  40802  hoidmv1le  40808  hspmbllem1  40840  fmtnorec2  41455