Theorem peano5 7089

Description: The induction postulate: any class containing zero and closed under the successor operation contains all natural numbers. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(5) of [TakeutiZaring] p. 43, except our proof does not require the Axiom of Infinity. The more traditional statement of mathematical induction as a theorem schema, with a basis and an induction step, is derived from this theorem as theorem findes 7096. (Contributed by NM, 18-Feb-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano5	|- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem peano5

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifn 3733	. . . . . 6 |- ( y e. ( om \ A ) -> -. y e. A )
2	1	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) /\ y e. ( om \ A ) ) -> -. y e. A )
3		eldifi 3732	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( om \ A ) -> y e. om )
4	3	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( (/) e. A /\ y e. ( om \ A ) ) -> y e. om )
5		elndif 3734	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. A -> -. (/) e. ( om \ A ) )
6		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = (/) -> ( y e. ( om \ A ) <-> (/) e. ( om \ A ) ) )
7	6	biimpcd 239	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( om \ A ) -> ( y = (/) -> (/) e. ( om \ A ) ) )
8	7	necon3bd 2808	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( om \ A ) -> ( -. (/) e. ( om \ A ) -> y =/= (/) ) )
9	5, 8	mpan9 486	. . . . . . . . 9 |- ( ( (/) e. A /\ y e. ( om \ A ) ) -> y =/= (/) )
10		nnsuc 7082	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ y =/= (/) ) -> E. x e. om y = suc x )
11	4, 9, 10	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( (/) e. A /\ y e. ( om \ A ) ) -> E. x e. om y = suc x )
12	11	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) /\ y e. ( om \ A ) ) -> E. x e. om y = suc x )
13	12	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) /\ y e. ( om \ A ) ) /\ ( ( om \ A ) i^i y ) = (/) ) -> E. x e. om y = suc x )
14		nfra1 2941	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A )
15		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( y e. ( om \ A ) /\ ( ( om \ A ) i^i y ) = (/) )
16	14, 15	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) /\ ( y e. ( om \ A ) /\ ( ( om \ A ) i^i y ) = (/) ) )
17		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ x y e. A
18		rsp 2929	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) -> ( x e. om -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
19		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- x e. _V
20	19	sucid 5804	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- x e. suc x
21		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = suc x -> ( x e. y <-> x e. suc x ) )
22	20, 21	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = suc x -> x e. y )
23		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = suc x -> ( y e. om <-> suc x e. om ) )
24		peano2b 7081	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. om <-> suc x e. om )
25	23, 24	syl6bbr 278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = suc x -> ( y e. om <-> x e. om ) )
26		minel 4033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. y /\ ( ( om \ A ) i^i y ) = (/) ) -> -. x e. ( om \ A ) )
27		neldif 3735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. om /\ -. x e. ( om \ A ) ) -> x e. A )
28	26, 27	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. om /\ ( x e. y /\ ( ( om \ A ) i^i y ) = (/) ) ) -> x e. A )
29	28	exp32 631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. om -> ( x e. y -> ( ( ( om \ A ) i^i y ) = (/) -> x e. A ) ) )
30	25, 29	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = suc x -> ( y e. om -> ( x e. y -> ( ( ( om \ A ) i^i y ) = (/) -> x e. A ) ) ) )
31	22, 30	mpid 44	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = suc x -> ( y e. om -> ( ( ( om \ A ) i^i y ) = (/) -> x e. A ) ) )
32	3, 31	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = suc x -> ( y e. ( om \ A ) -> ( ( ( om \ A ) i^i y ) = (/) -> x e. A ) ) )
33	32	impd 447	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = suc x -> ( ( y e. ( om \ A ) /\ ( ( om \ A ) i^i y ) = (/) ) -> x e. A ) )
34		eleq1a 2696	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( suc x e. A -> ( y = suc x -> y e. A ) )
35	34	com12 32	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = suc x -> ( suc x e. A -> y e. A ) )
36	33, 35	imim12d 81	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = suc x -> ( ( x e. A -> suc x e. A ) -> ( ( y e. ( om \ A ) /\ ( ( om \ A ) i^i y ) = (/) ) -> y e. A ) ) )
37	36	com13 88	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ( om \ A ) /\ ( ( om \ A ) i^i y ) = (/) ) -> ( ( x e. A -> suc x e. A ) -> ( y = suc x -> y e. A ) ) )
38	18, 37	sylan9 689	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) /\ ( y e. ( om \ A ) /\ ( ( om \ A ) i^i y ) = (/) ) ) -> ( x e. om -> ( y = suc x -> y e. A ) ) )
39	16, 17, 38	rexlimd 3026	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) /\ ( y e. ( om \ A ) /\ ( ( om \ A ) i^i y ) = (/) ) ) -> ( E. x e. om y = suc x -> y e. A ) )
40	39	exp32 631	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) -> ( y e. ( om \ A ) -> ( ( ( om \ A ) i^i y ) = (/) -> ( E. x e. om y = suc x -> y e. A ) ) ) )
41	40	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( (/) e. A -> ( A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) -> ( y e. ( om \ A ) -> ( ( ( om \ A ) i^i y ) = (/) -> ( E. x e. om y = suc x -> y e. A ) ) ) ) )
42	41	imp41 619	. . . . . 6 |- ( ( ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) /\ y e. ( om \ A ) ) /\ ( ( om \ A ) i^i y ) = (/) ) -> ( E. x e. om y = suc x -> y e. A ) )
43	13, 42	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) /\ y e. ( om \ A ) ) /\ ( ( om \ A ) i^i y ) = (/) ) -> y e. A )
44	2, 43	mtand 691	. . . 4 |- ( ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) /\ y e. ( om \ A ) ) -> -. ( ( om \ A ) i^i y ) = (/) )
45	44	nrexdv 3001	. . 3 |- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> -. E. y e. ( om \ A ) ( ( om \ A ) i^i y ) = (/) )
46		ordom 7074	. . . . 5 |- Ord om
47		difss 3737	. . . . 5 |- ( om \ A ) C_ om
48		tz7.5 5744	. . . . 5 |- ( ( Ord om /\ ( om \ A ) C_ om /\ ( om \ A ) =/= (/) ) -> E. y e. ( om \ A ) ( ( om \ A ) i^i y ) = (/) )
49	46, 47, 48	mp3an12 1414	. . . 4 |- ( ( om \ A ) =/= (/) -> E. y e. ( om \ A ) ( ( om \ A ) i^i y ) = (/) )
50	49	necon1bi 2822	. . 3 |- ( -. E. y e. ( om \ A ) ( ( om \ A ) i^i y ) = (/) -> ( om \ A ) = (/) )
51	45, 50	syl 17	. 2 |- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( om \ A ) = (/) )
52		ssdif0 3942	. 2 |- ( om C_ A <-> ( om \ A ) = (/) )
53	51, 52	sylibr 224	1 |- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   Ord word 5722   suc csuc 5725   omcom 7065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-om 7066

This theorem is referenced by:  find  7091  finds  7092  finds2  7094  omex  8540  dfom3  8544