Theorem nn0suc 7090

Description: A natural number is either 0 or a successor. (Contributed by NM, 27-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
nn0suc	|- ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem nn0suc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2795	. . . 4 |- ( A =/= (/) <-> -. A = (/) )
2		nnsuc 7082	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ A =/= (/) ) -> E. x e. om A = suc x )
3	1, 2	sylan2br 493	. . 3 |- ( ( A e. om /\ -. A = (/) ) -> E. x e. om A = suc x )
4	3	ex 450	. 2 |- ( A e. om -> ( -. A = (/) -> E. x e. om A = suc x ) )
5	4	orrd 393	1 |- ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   (/)c0 3915   suc csuc 5725   omcom 7065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-om 7066

This theorem is referenced by:  nnawordex  7717  nneneq  8143  php  8144  cantnfvalf  8562  cantnflt  8569  hsmexlem9  9247  winainflem  9515  bnj517  30955  trpredlem1  31727  trpred0  31736  trpredrec  31738