Theorem php4 8147

Description: Corollary of the Pigeonhole Principle php 8144: a natural number is strictly dominated by its successor. (Contributed by NM, 26-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
php4	|- ( A e. om -> A ~< suc A )

Proof of Theorem php4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sucidg 5803	. . 3 |- ( A e. om -> A e. suc A )
2		nnord 7073	. . . 4 |- ( A e. om -> Ord A )
3		ordsuc 7014	. . . . . 6 |- ( Ord A <-> Ord suc A )
4	3	biimpi 206	. . . . 5 |- ( Ord A -> Ord suc A )
5	4	ancli 574	. . . 4 |- ( Ord A -> ( Ord A /\ Ord suc A ) )
6		ordelpss 5751	. . . 4 |- ( ( Ord A /\ Ord suc A ) -> ( A e. suc A <-> A C. suc A ) )
7	2, 5, 6	3syl 18	. . 3 |- ( A e. om -> ( A e. suc A <-> A C. suc A ) )
8	1, 7	mpbid 222	. 2 |- ( A e. om -> A C. suc A )
9		peano2b 7081	. . 3 |- ( A e. om <-> suc A e. om )
10		php2 8145	. . 3 |- ( ( suc A e. om /\ A C. suc A ) -> A ~< suc A )
11	9, 10	sylanb 489	. 2 |- ( ( A e. om /\ A C. suc A ) -> A ~< suc A )
12	8, 11	mpdan 702	1 |- ( A e. om -> A ~< suc A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   C. wpss 3575   class class class wbr 4653   Ord word 5722   suc csuc 5725   omcom 7065   ~< csdm 7954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958

This theorem is referenced by:  php5  8148  sucdom  8157  1sdom2  8159