Theorem php2 8145

Description: Corollary of Pigeonhole Principle. (Contributed by NM, 31-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
php2	|- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> B ~< A )

Proof of Theorem php2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2689	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x e. om <-> A e. om ) )
2		psseq2 3695	. . . . 5 |- ( x = A -> ( B C. x <-> B C. A ) )
3	1, 2	anbi12d 747	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( x e. om /\ B C. x ) <-> ( A e. om /\ B C. A ) ) )
4		breq2 4657	. . . 4 |- ( x = A -> ( B ~< x <-> B ~< A ) )
5	3, 4	imbi12d 334	. . 3 |- ( x = A -> ( ( ( x e. om /\ B C. x ) -> B ~< x ) <-> ( ( A e. om /\ B C. A ) -> B ~< A ) ) )
6		vex 3203	. . . . . 6 |- x e. _V
7		pssss 3702	. . . . . 6 |- ( B C. x -> B C_ x )
8		ssdomg 8001	. . . . . 6 |- ( x e. _V -> ( B C_ x -> B ~<_ x ) )
9	6, 7, 8	mpsyl 68	. . . . 5 |- ( B C. x -> B ~<_ x )
10	9	adantl 482	. . . 4 |- ( ( x e. om /\ B C. x ) -> B ~<_ x )
11		php 8144	. . . . 5 |- ( ( x e. om /\ B C. x ) -> -. x ~~ B )
12		ensym 8005	. . . . 5 |- ( B ~~ x -> x ~~ B )
13	11, 12	nsyl 135	. . . 4 |- ( ( x e. om /\ B C. x ) -> -. B ~~ x )
14		brsdom 7978	. . . 4 |- ( B ~< x <-> ( B ~<_ x /\ -. B ~~ x ) )
15	10, 13, 14	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ( x e. om /\ B C. x ) -> B ~< x )
16	5, 15	vtoclg 3266	. 2 |- ( A e. om -> ( ( A e. om /\ B C. A ) -> B ~< A ) )
17	16	anabsi5 858	1 |- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> B ~< A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   C. wpss 3575   class class class wbr 4653   omcom 7065   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   ~< csdm 7954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958

This theorem is referenced by:  php4  8147  nndomo  8154