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Theorem cctop 20810

Description: The countable complement topology on a set

. Example 4 in [Munkres] p. 77. (Contributed by FL, 23-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
cctop	$\$ $\/$ TopOn

Distinct variable group:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem cctop Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniss 4458	. . . . . . . 8 $\$ $\/$ $\$ $\/$
2		ssrab2 3687	. . . . . . . . 9 $\$ $\/$
3		sspwuni 4611	. . . . . . . . 9 $\$ $\/$ $\$ $\/$
4	2, 3	mpbi 220	. . . . . . . 8 $\$ $\/$
5	1, 4	syl6ss 3615	. . . . . . 7 $\$ $\/$
6		vuniex 6954	. . . . . . . 8
7	6	elpw 4164	. . . . . . 7
8	5, 7	sylibr 224	. . . . . 6 $\$ $\/$
9		uni0c 4464	. . . . . . . . . . 11
10	9	notbii 310	. . . . . . . . . 10
11		rexnal 2995	. . . . . . . . . 10
12	10, 11	bitr4i 267	. . . . . . . . 9
13		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $\/$ $/\$ $\$ $\/$
14		difeq2 3722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\$ $\$
15	14	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ $\$
16		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
17	15, 16	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $\/$ $\$ $\/$
18	17	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $\/$ $/\$ $\$ $\/$
19	13, 18	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\$ $\/$
20	19	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\/$ $/\$ $\$ $\/$
21	20	ord 392	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $\/$ $/\$ $\$
22	21	con1d 139	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\/$ $/\$ $\$
23	22	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\$
24		ctex 7970	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\$
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
26		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
27		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . . 15
28		sscon 3744	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\$
29	26, 27, 28	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
30		ssdomg 8001	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
31	25, 29, 30	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
32		domtr 8009	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
33	31, 32	sylancom 701	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
34	23, 33	mpdan 702	. . . . . . . . . . 11 $\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\$
35	34	exp31 630	. . . . . . . . . 10 $\$ $\/$ $\$
36	35	rexlimdv 3030	. . . . . . . . 9 $\$ $\/$ $\$
37	12, 36	syl5bi 232	. . . . . . . 8 $\$ $\/$ $\$
38	37	con1d 139	. . . . . . 7 $\$ $\/$ $\$
39	38	orrd 393	. . . . . 6 $\$ $\/$ $\$ $\/$
40		difeq2 3722	. . . . . . . . 9 $\$ $\$
41	40	breq1d 4663	. . . . . . . 8 $\$ $\$
42		eqeq1 2626	. . . . . . . 8
43	41, 42	orbi12d 746	. . . . . . 7 $\$ $\/$ $\$ $\/$
44	43	elrab 3363	. . . . . 6 $\$ $\/$ $/\$ $\$ $\/$
45	8, 39, 44	sylanbrc 698	. . . . 5 $\$ $\/$ $\$ $\/$
46	45	ax-gen 1722	. . . 4 $\$ $\/$ $\$ $\/$
47		difeq2 3722	. . . . . . . . . 10 $\$ $\$
48	47	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 $\$ $\$
49		eqeq1 2626	. . . . . . . . 9
50	48, 49	orbi12d 746	. . . . . . . 8 $\$ $\/$ $\$ $\/$
51	50	elrab 3363	. . . . . . 7 $\$ $\/$ $/\$ $\$ $\/$
52		ssinss1 3841	. . . . . . . . . 10
53		vex 3203	. . . . . . . . . . 11
54	53	elpw 4164	. . . . . . . . . 10
55	53	inex1 4799	. . . . . . . . . . 11
56	55	elpw 4164	. . . . . . . . . 10
57	52, 54, 56	3imtr4i 281	. . . . . . . . 9
58	57	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\$ $\/$
59		difindi 3881	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$ $\$
60		unctb 9027	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
61	59, 60	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . 11 $\$ $/\$ $\$ $\$
62	61	orcd 407	. . . . . . . . . 10 $\$ $/\$ $\$ $\$ $\/$
63		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . 12
64		0in 3969	. . . . . . . . . . . 12
65	63, 64	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11
66	65	olcd 408	. . . . . . . . . 10 $\$ $\/$
67		ineq2 3808	. . . . . . . . . . . 12
68		in0 3968	. . . . . . . . . . . 12
69	67, 68	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11
70	69	olcd 408	. . . . . . . . . 10 $\$ $\/$
71	62, 66, 70	ccase2 989	. . . . . . . . 9 $\$ $\/$ $/\$ $\$ $\/$ $\$ $\/$
72	71	ad2ant2l 782	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\$ $\/$ $\$ $\/$
73	58, 72	jca 554	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\$ $\/$ $/\$ $\$ $\/$
74	51, 18, 73	syl2anb 496	. . . . . 6 $\$ $\/$ $/\$ $\$ $\/$ $/\$ $\$ $\/$
75		difeq2 3722	. . . . . . . . 9 $\$ $\$
76	75	breq1d 4663	. . . . . . . 8 $\$ $\$
77		eqeq1 2626	. . . . . . . 8
78	76, 77	orbi12d 746	. . . . . . 7 $\$ $\/$ $\$ $\/$
79	78	elrab 3363	. . . . . 6 $\$ $\/$ $/\$ $\$ $\/$
80	74, 79	sylibr 224	. . . . 5 $\$ $\/$ $/\$ $\$ $\/$ $\$ $\/$
81	80	rgen2a 2977	. . . 4 $\$ $\/$ $\$ $\/$ $\$ $\/$
82	46, 81	pm3.2i 471	. . 3 $\$ $\/$ $\$ $\/$ $/\$ $\$ $\/$ $\$ $\/$ $\$ $\/$
83		pwexg 4850	. . . 4
84		rabexg 4812	. . . 4 $\$ $\/$
85		istopg 20700	. . . 4 $\$ $\/$ $\$ $\/$ $\$ $\/$ $\$ $\/$ $/\$ $\$ $\/$ $\$ $\/$ $\$ $\/$
86	83, 84, 85	3syl 18	. . 3 $\$ $\/$ $\$ $\/$ $\$ $\/$ $/\$ $\$ $\/$ $\$ $\/$ $\$ $\/$
87	82, 86	mpbiri 248	. 2 $\$ $\/$
88		pwidg 4173	. . . . 5
89		omex 8540	. . . . . . . 8
90	89	0dom 8090	. . . . . . 7
91	90	orci 405	. . . . . 6 $\/$
92	91	a1i 11	. . . . 5 $\/$
93		difeq2 3722	. . . . . . . . 9 $\$ $\$
94		difid 3948	. . . . . . . . 9 $\$
95	93, 94	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 $\$
96	95	breq1d 4663	. . . . . . 7 $\$
97		eqeq1 2626	. . . . . . 7
98	96, 97	orbi12d 746	. . . . . 6 $\$ $\/$ $\/$
99	98	elrab 3363	. . . . 5 $\$ $\/$ $/\$ $\/$
100	88, 92, 99	sylanbrc 698	. . . 4 $\$ $\/$
101		elssuni 4467	. . . 4 $\$ $\/$ $\$ $\/$
102	100, 101	syl 17	. . 3 $\$ $\/$
103	4	a1i 11	. . 3 $\$ $\/$
104	102, 103	eqssd 3620	. 2 $\$ $\/$
105		istopon 20717	. 2 $\$ $\/$ TopOn $\$ $\/$ $/\$ $\$ $\/$
106	87, 104, 105	sylanbrc 698	1 $\$ $\/$ TopOn

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384

wal 1481

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912

wrex 2913

crab 2916

cvv 3200 $\$ cdif 3571

cun 3572

cin 3573

wss 3574

c0 3915

cpw 4158

cuni 4436 class class class wbr 4653

cfv 5888

com 7065

cdom 7953

ctop 20698 TopOnctopon 20715

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-top 20699 df-topon 20716

This theorem is referenced by: (None)

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