Theorem qtopcld 21516

Description: The property of being a closed set in the quotient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
qtopcld	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) -> ( A e. ( Clsd ` ( J qTop F ) ) <-> ( A C_ Y /\ ( `' F " A ) e. ( Clsd ` J ) ) ) )

Proof of Theorem qtopcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qtoptopon 21507	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) -> ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) )
2		topontop 20718	. . 3 |- ( ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) -> ( J qTop F ) e. Top )
3		eqid 2622	. . . 4 |- U. ( J qTop F ) = U. ( J qTop F )
4	3	iscld 20831	. . 3 |- ( ( J qTop F ) e. Top -> ( A e. ( Clsd ` ( J qTop F ) ) <-> ( A C_ U. ( J qTop F ) /\ ( U. ( J qTop F ) \ A ) e. ( J qTop F ) ) ) )
5	1, 2, 4	3syl 18	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) -> ( A e. ( Clsd ` ( J qTop F ) ) <-> ( A C_ U. ( J qTop F ) /\ ( U. ( J qTop F ) \ A ) e. ( J qTop F ) ) ) )
6		toponuni 20719	. . . . 5 |- ( ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) -> Y = U. ( J qTop F ) )
7	1, 6	syl 17	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) -> Y = U. ( J qTop F ) )
8	7	sseq2d 3633	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) -> ( A C_ Y <-> A C_ U. ( J qTop F ) ) )
9	7	difeq1d 3727	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) -> ( Y \ A ) = ( U. ( J qTop F ) \ A ) )
10	9	eleq1d 2686	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) -> ( ( Y \ A ) e. ( J qTop F ) <-> ( U. ( J qTop F ) \ A ) e. ( J qTop F ) ) )
11	8, 10	anbi12d 747	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) -> ( ( A C_ Y /\ ( Y \ A ) e. ( J qTop F ) ) <-> ( A C_ U. ( J qTop F ) /\ ( U. ( J qTop F ) \ A ) e. ( J qTop F ) ) ) )
12		elqtop3 21506	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) -> ( ( Y \ A ) e. ( J qTop F ) <-> ( ( Y \ A ) C_ Y /\ ( `' F " ( Y \ A ) ) e. J ) ) )
13	12	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( Y \ A ) e. ( J qTop F ) <-> ( ( Y \ A ) C_ Y /\ ( `' F " ( Y \ A ) ) e. J ) ) )
14		difss 3737	. . . . . 6 |- ( Y \ A ) C_ Y
15	14	biantrur 527	. . . . 5 |- ( ( `' F " ( Y \ A ) ) e. J <-> ( ( Y \ A ) C_ Y /\ ( `' F " ( Y \ A ) ) e. J ) )
16		fofun 6116	. . . . . . . . . 10 |- ( F : X -onto-> Y -> Fun F )
17	16	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) /\ A C_ Y ) -> Fun F )
18		funcnvcnv 5956	. . . . . . . . 9 |- ( Fun F -> Fun `' `' F )
19		imadif 5973	. . . . . . . . 9 |- ( Fun `' `' F -> ( `' F " ( Y \ A ) ) = ( ( `' F " Y ) \ ( `' F " A ) ) )
20	17, 18, 19	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) /\ A C_ Y ) -> ( `' F " ( Y \ A ) ) = ( ( `' F " Y ) \ ( `' F " A ) ) )
21		fof 6115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : X -onto-> Y -> F : X --> Y )
22		fimacnv 6347	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : X --> Y -> ( `' F " Y ) = X )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : X -onto-> Y -> ( `' F " Y ) = X )
24	23	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) /\ A C_ Y ) -> ( `' F " Y ) = X )
25		toponuni 20719	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
26	25	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) /\ A C_ Y ) -> X = U. J )
27	24, 26	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) /\ A C_ Y ) -> ( `' F " Y ) = U. J )
28	27	difeq1d 3727	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( `' F " Y ) \ ( `' F " A ) ) = ( U. J \ ( `' F " A ) ) )
29	20, 28	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) /\ A C_ Y ) -> ( `' F " ( Y \ A ) ) = ( U. J \ ( `' F " A ) ) )
30	29	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( `' F " ( Y \ A ) ) e. J <-> ( U. J \ ( `' F " A ) ) e. J ) )
31		topontop 20718	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
32	31	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) /\ A C_ Y ) -> J e. Top )
33		cnvimass 5485	. . . . . . . . 9 |- ( `' F " A ) C_ dom F
34		fofn 6117	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : X -onto-> Y -> F Fn X )
35		fndm 5990	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn X -> dom F = X )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( F : X -onto-> Y -> dom F = X )
37	36	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) /\ A C_ Y ) -> dom F = X )
38	33, 37	syl5sseq 3653	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) /\ A C_ Y ) -> ( `' F " A ) C_ X )
39	38, 26	sseqtrd 3641	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) /\ A C_ Y ) -> ( `' F " A ) C_ U. J )
40		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- U. J = U. J
41	40	iscld2 20832	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ ( `' F " A ) C_ U. J ) -> ( ( `' F " A ) e. ( Clsd ` J ) <-> ( U. J \ ( `' F " A ) ) e. J ) )
42	32, 39, 41	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( `' F " A ) e. ( Clsd ` J ) <-> ( U. J \ ( `' F " A ) ) e. J ) )
43	30, 42	bitr4d 271	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( `' F " ( Y \ A ) ) e. J <-> ( `' F " A ) e. ( Clsd ` J ) ) )
44	15, 43	syl5bbr 274	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( ( Y \ A ) C_ Y /\ ( `' F " ( Y \ A ) ) e. J ) <-> ( `' F " A ) e. ( Clsd ` J ) ) )
45	13, 44	bitrd 268	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( Y \ A ) e. ( J qTop F ) <-> ( `' F " A ) e. ( Clsd ` J ) ) )
46	45	pm5.32da 673	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) -> ( ( A C_ Y /\ ( Y \ A ) e. ( J qTop F ) ) <-> ( A C_ Y /\ ( `' F " A ) e. ( Clsd ` J ) ) ) )
47	5, 11, 46	3bitr2d 296	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) -> ( A e. ( Clsd ` ( J qTop F ) ) <-> ( A C_ Y /\ ( `' F " A ) e. ( Clsd ` J ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   C_ wss 3574   U.cuni 4436   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   qTop cqtop 16163   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Clsdccld 20820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-qtop 16167  df-top 20699  df-topon 20716  df-cld 20823

This theorem is referenced by:  qtoprest  21520  kqcld  21538  qustgphaus  21926  qtopt1  29902