Theorem qtopcn 21517

Description: Universal property of a quotient map. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
qtopcn	|- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Z ) ) /\ ( F : X -onto-> Y /\ G : Y --> Z ) ) -> ( G e. ( ( J qTop F ) Cn K ) <-> ( G o. F ) e. ( J Cn K ) ) )

Proof of Theorem qtopcn

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 798	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Z ) ) /\ ( F : X -onto-> Y /\ G : Y --> Z ) ) /\ x e. K ) -> J e. (TopOn ` X ) )
2		simplrl 800	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Z ) ) /\ ( F : X -onto-> Y /\ G : Y --> Z ) ) /\ x e. K ) -> F : X -onto-> Y )
3		elqtop3 21506	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) -> ( ( `' G " x ) e. ( J qTop F ) <-> ( ( `' G " x ) C_ Y /\ ( `' F " ( `' G " x ) ) e. J ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Z ) ) /\ ( F : X -onto-> Y /\ G : Y --> Z ) ) /\ x e. K ) -> ( ( `' G " x ) e. ( J qTop F ) <-> ( ( `' G " x ) C_ Y /\ ( `' F " ( `' G " x ) ) e. J ) ) )
5		cnvimass 5485	. . . . . . . 8 |- ( `' G " x ) C_ dom G
6		simplrr 801	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Z ) ) /\ ( F : X -onto-> Y /\ G : Y --> Z ) ) /\ x e. K ) -> G : Y --> Z )
7		fdm 6051	. . . . . . . . 9 |- ( G : Y --> Z -> dom G = Y )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Z ) ) /\ ( F : X -onto-> Y /\ G : Y --> Z ) ) /\ x e. K ) -> dom G = Y )
9	5, 8	syl5sseq 3653	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Z ) ) /\ ( F : X -onto-> Y /\ G : Y --> Z ) ) /\ x e. K ) -> ( `' G " x ) C_ Y )
10	9	biantrurd 529	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Z ) ) /\ ( F : X -onto-> Y /\ G : Y --> Z ) ) /\ x e. K ) -> ( ( `' F " ( `' G " x ) ) e. J <-> ( ( `' G " x ) C_ Y /\ ( `' F " ( `' G " x ) ) e. J ) ) )
11	4, 10	bitr4d 271	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Z ) ) /\ ( F : X -onto-> Y /\ G : Y --> Z ) ) /\ x e. K ) -> ( ( `' G " x ) e. ( J qTop F ) <-> ( `' F " ( `' G " x ) ) e. J ) )
12		cnvco 5308	. . . . . . . 8 |- `' ( G o. F ) = ( `' F o. `' G )
13	12	imaeq1i 5463	. . . . . . 7 |- ( `' ( G o. F ) " x ) = ( ( `' F o. `' G ) " x )
14		imaco 5640	. . . . . . 7 |- ( ( `' F o. `' G ) " x ) = ( `' F " ( `' G " x ) )
15	13, 14	eqtri 2644	. . . . . 6 |- ( `' ( G o. F ) " x ) = ( `' F " ( `' G " x ) )
16	15	eleq1i 2692	. . . . 5 |- ( ( `' ( G o. F ) " x ) e. J <-> ( `' F " ( `' G " x ) ) e. J )
17	11, 16	syl6bbr 278	. . . 4 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Z ) ) /\ ( F : X -onto-> Y /\ G : Y --> Z ) ) /\ x e. K ) -> ( ( `' G " x ) e. ( J qTop F ) <-> ( `' ( G o. F ) " x ) e. J ) )
18	17	ralbidva 2985	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Z ) ) /\ ( F : X -onto-> Y /\ G : Y --> Z ) ) -> ( A. x e. K ( `' G " x ) e. ( J qTop F ) <-> A. x e. K ( `' ( G o. F ) " x ) e. J ) )
19		simprr 796	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Z ) ) /\ ( F : X -onto-> Y /\ G : Y --> Z ) ) -> G : Y --> Z )
20	19	biantrurd 529	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Z ) ) /\ ( F : X -onto-> Y /\ G : Y --> Z ) ) -> ( A. x e. K ( `' G " x ) e. ( J qTop F ) <-> ( G : Y --> Z /\ A. x e. K ( `' G " x ) e. ( J qTop F ) ) ) )
21		fof 6115	. . . . . 6 |- ( F : X -onto-> Y -> F : X --> Y )
22	21	ad2antrl 764	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Z ) ) /\ ( F : X -onto-> Y /\ G : Y --> Z ) ) -> F : X --> Y )
23		fco 6058	. . . . 5 |- ( ( G : Y --> Z /\ F : X --> Y ) -> ( G o. F ) : X --> Z )
24	19, 22, 23	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Z ) ) /\ ( F : X -onto-> Y /\ G : Y --> Z ) ) -> ( G o. F ) : X --> Z )
25	24	biantrurd 529	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Z ) ) /\ ( F : X -onto-> Y /\ G : Y --> Z ) ) -> ( A. x e. K ( `' ( G o. F ) " x ) e. J <-> ( ( G o. F ) : X --> Z /\ A. x e. K ( `' ( G o. F ) " x ) e. J ) ) )
26	18, 20, 25	3bitr3d 298	. 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Z ) ) /\ ( F : X -onto-> Y /\ G : Y --> Z ) ) -> ( ( G : Y --> Z /\ A. x e. K ( `' G " x ) e. ( J qTop F ) ) <-> ( ( G o. F ) : X --> Z /\ A. x e. K ( `' ( G o. F ) " x ) e. J ) ) )
27		qtoptopon 21507	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) -> ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) )
28	27	ad2ant2r 783	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Z ) ) /\ ( F : X -onto-> Y /\ G : Y --> Z ) ) -> ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) )
29		simplr 792	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Z ) ) /\ ( F : X -onto-> Y /\ G : Y --> Z ) ) -> K e. (TopOn ` Z ) )
30		iscn 21039	. . 3 |- ( ( ( J qTop F ) e. (TopOn ` Y ) /\ K e. (TopOn ` Z ) ) -> ( G e. ( ( J qTop F ) Cn K ) <-> ( G : Y --> Z /\ A. x e. K ( `' G " x ) e. ( J qTop F ) ) ) )
31	28, 29, 30	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Z ) ) /\ ( F : X -onto-> Y /\ G : Y --> Z ) ) -> ( G e. ( ( J qTop F ) Cn K ) <-> ( G : Y --> Z /\ A. x e. K ( `' G " x ) e. ( J qTop F ) ) ) )
32		iscn 21039	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Z ) ) -> ( ( G o. F ) e. ( J Cn K ) <-> ( ( G o. F ) : X --> Z /\ A. x e. K ( `' ( G o. F ) " x ) e. J ) ) )
33	32	adantr 481	. 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Z ) ) /\ ( F : X -onto-> Y /\ G : Y --> Z ) ) -> ( ( G o. F ) e. ( J Cn K ) <-> ( ( G o. F ) : X --> Z /\ A. x e. K ( `' ( G o. F ) " x ) e. J ) ) )
34	26, 31, 33	3bitr4d 300	1 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Z ) ) /\ ( F : X -onto-> Y /\ G : Y --> Z ) ) -> ( G e. ( ( J qTop F ) Cn K ) <-> ( G o. F ) e. ( J Cn K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   o. ccom 5118   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   qTop cqtop 16163  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-qtop 16167  df-top 20699  df-topon 20716  df-cn 21031

This theorem is referenced by:  qtopeu  21519